Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
что v равно положительной постоянной, например, А, (> 0), соотношение
(18г) сводится к 0 = 0, а соотношение (18i) к
так что, если qi = qi(t) - решение системы [L], = 0, то функция
где X - любая положительная постоянная, также представляет собой решение
системы [Z/]g = 0.
Если Р#0, так что U(qiqn) - однородная функция степени р, то из (3)
видно, что постоянная энергии для решения (I84) в Х& раз больше, чем
постоянная энергии h для решения
§ 160а. Если система [Qq = 0 имеет семейство периодических решений,
которые удовлетворяют некоторым условиям дифференцируемости, то период
решения этого семейства является в силу изложенного в § 100 функцией т =
т (h) только от постоянной энергии h. Если динамическая система
принадлежит к типу,
г2 =
ii2v = (2 - Р) y2-py,
(I81)
(18*)
(18з)
v = ci.
du
Следовательно, все условия удовлетворяются при
Р _i
v - X = const >0, и = X * t,
qi = Xqi{Xi 1 t),
(18*)
?i(0-
144
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
рассмотренному в § 160, и если р 0, то функция т = т (h) может быть
выражена явно.
Действительно, если расширить семейство периодических решений путем
введения дополнительного параметра X, то из изложенного в конце § 160
вытекает, что период и постоянная энер-
1- ?
гия окажутся равными X u (h) и №h соответственно. Следовательно,
произведение
1__0 x(h)Xl *
должно быть функцией величины №h, причем X - произвольное положительное
число. Это означает, что для решений семейства период t(/i)
пропорционален |А| в степени (Р-1 - 7г).
§ 161. Поскольку соображения, касающиеся формул (18i) - (18з) в
предыдущем параграфе, основаны на предположении, что с = 0, остается
проанализировать, в какой мере результаты этого параграфа являются
полными.
Прежде всего, если р ф - 2, то с следует положить равным нулю.
Действительно, так как, по предположению, и > 0, i > 0, то из (18i)
вытекает, что (I82) имеет место при Р Ф - 2, если только v = 0 и,
следовательно, с = 0 (см. (18з), где i > 0).
Пусть, однако, р = -2. Тогда (I82) удовлетворяется в силу (18i)
тождественно и в том случае, если v Ф 0, так что постоянную с можно
выбирать в (I83) произвольно. Три условия (18.0 сводятся тогда к
следующим:
ц'2 - - иР-2, v'i - ct
или (поскольку р = -2, I > 0)
и' = v~z, v' = с,
где и= u(t), v= v(t). Можно сделать, таким образом, вывод, что все эти
условия удовлетворяются при
с dt
"(0=)-^. v(t) = ct + b,
где Ь, с (=у^ 0) - произвольные постоянные. В частности, если Qi = Qi(0 -
решение системы [L\q = 0, то qi ==* ±tqt(-t ) также решение.
Сопоставляя этот результат с теми, которые рассматривались в § 96 (и §
9а), можно ожидать, что если Р = -2, то существуют
§§ 155-166. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И ЛАГРАНЖА
145
два независимых интеграла, соответствующих паре произвольных постоянных
Ь, с, и что если р -2, то этих интегралов нет. Эти два интеграла системы
[Z] д = 0 можно записать в явном виде. Действительно, один из них
совпадает с (16) при а = 0, а другой имеет вид
~ 22 SihiQiqh - 2tqiq'i -f t2q'i q'k)-tzU = const (16a)
ш '
и является очевидным следствием (16) и (3), поскольку gih - постоянные.
§ 162. Если U(q i, ..., qn) -однородная функция некоторой степени р и
коэффициенты gih не зависят от q (следовательно, я = 0), то
-V = (p + 2)i/ + 2A, (19,)
4q) = ] = S 2 Sihqiqh- (192)
Действительно, (19,) совпадает в силу (15г) и определения (19т) с (14).
Если, в частности, р = -2, то (19,) сводится к J" = 4А, так
что
J(t) = 2ht2 -j- const• t + const.
Сравнивая эту формулу с (19г), получим, что в
исключительном
случае Р = -2 (§ 161) только те решения q = q(t)
системы
[L]q = 0 остаются ограниченными при i-*-±oo, вдоль которых (19г) не
зависит от t. Обращение в нуль постоянной энергии А - необходимое условие
для этих решений.
В частности, если Р = -2, то для любого периодического решения J{t) =
const, А = 0.
§ 163. Возвращаясь к общему случаю, когда gih, h зависят от q (см. §
155), определим функции Рм = -Рм, Гм = Гм точки q в позиционном
пространстве, полагая
dfi дЬ /оП 1
PiA = - -, (40i)
отл dgih , d?ih dgij /on ^
21 ijh = - h - z- • (4U2)
vQi
Подставляя (1) § 155 в (6) § 94, придем к явной записи п лагран-жевых
уравнений [?]gt= 0 в случае произвольной консервативной
10 А. Уивтвер
146
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
динамической системы с п степенями свободы
+ 2 S Зл + 2' - ^i =
к j к к
Левые части этих уравнений линейны относительно ускорений qi" и содержат
члены второй степени относительно скоростей qi'. Так как (gik)~l = (gih),
то (21) можно разрешить относительно д/':
4i=-7i S rjk(?)g,#2 Pi(3)g;+2.gik(g) !/,*(?), (22)
j k h k
где
г" = 2*"г№1 = 1"
I
II
p 1 = (^-P.ft).
I
Для дальнейших приложений полезно заметить, что если начальные значения
при t = t° суть q(t°) = q°, q'{t°) = ?/L\ то имеем
q'i {t)= q" (t°) (t - i°) + o(\t - i°|) при t-+t°± 0, (23i)
и
?"(*°)=2 sih(q0)uqk(q°), (23*)
если ?'° == 0. Первая формула следует из формулы Тейлора, а (23а) - из
(22).
Заменяя t на -f, увидим, что п уравнений (21) при этом не изменяются
