Оптические свойства полупроводников - Уиллардон Р.
Скачать (прямая ссылка):
г И « 1 -лг' (^y j d-jfc (<о -h± у [2 ft + ft] -
- (JL)'1 J d?k [ 2 /,Vw.-!. (OJ + JL) ¦" /?] , (25)
I^v
где члены, включающие /§„, добавлены и вычтены. Второй член в правой части соотношения (25) таиов, что можно ввести /-сумму. Разделяя действительную и мнимую части, получаем
Bi И - 1 - (<»2 - + ^Yi • 1 m-1 (•-J-У2 J (Pkftі] -
-п-'^У ItFk^fagftd, (26)
о«.-
е2 (W) - (2 (ш2 +z-vy [«,J^ + m"1 (^y J d*k}vd~] -
1>г
Как мы видим, равенства (26) представляют собой линейные комбинации членов, описывающих валептные электроны, которые ведут себя в этом диапазоне частот как свободные, и других членов, описывающих связанные ^-электроны. Член, содержащий дает положительный вклад в ef, так как gfd < 0 при ш < <' -j- Td2). Ниже мы покажем, что при ш этот член
представляет собой вклад d-электроноя в оптическую диэлектри-
8*115
X. Филипп, X. Эренрайх
чес кую проницаемость (будем обозначать его бе0) при частотах, больших частоты остаточных лучей. Член, содержащий дает положительный вклад в е2. Он описывает реальные переходы между d-зоной и состояниями пустой зоны проводимости и мал по величине, пока такой переход не становится энергетически возможным. Для области частот co/u < to < cocd равенство (25) можно переписать в следующей приближенной форме:
г Qi п
где величина
ГаЬ + т-Ч</п)* I Лу!г 0Pt,
L ^ (ЇТ&5 — J - (1 + ве,}1/» (28)
есть эффективная плазменная частота, которая больше частоты свободных электронов за счет члена, включающего взаимодействие между V- и ^-электронами, и уменьшается за счет эффектов экранирования, возникающих в результате существования tZ-зоны. Далее
6«. - - т* (if J« S лл * --- Ш' J« S Jhi
I >т і>ї
(29)
при to € ш/d- Очевидно, что правая часть (29) есть вклад tZ-элек-тронов в электронную часть статической диэлектрической постоянной для случая малого затухания. Равенство (27) очень напоминает формулу (23), близкую к формуле Друде. В действительности соотношение (23) применимо в том случае, когда d-лолосьг достаточно далеко отстоят от валентных зон и не взаимодействуют с ними. Когда частота достигает WcfJ, следует учитывать зависимость от частоты последнего члена в обоих соотношениях (26). Но, как будет показано, эта зависимость довольно слабая, и в настоящем рассмотрении мы полагаем, что Se0 в (27) — действительная и постоянная величина.
При более высоких частотах, где /-сумма для d-зон также исчерпывается, соотношение (20) снова приобретает простую асимптотическую форму:
wPo toPrf
6 H --60-STw-• (3°)
Для этой области плазменная частота удовлетворяет равенству Ир = tt>j>„ -I- tupd, и ей соответствует полная плотность и- и d-электронов K0 4- nd.Гл. 4. Оптические свойства в области фундамент, полосы, поглощения 117
2. ПРАВИЛА СУММ
Для того чтобы можно было сравнивать выражение (27) с экспериментальными данными, желательно рассчитать Qpo и бе0 в области 2. Для этого, а также для других целей полезно привести несколько правил сумм, входящих в мнимую часть диэлектрической проницаемости. Первое из них
є° = 1 + (4 ) j w^ea И d<u (31)
о
представляет собой выражение для статической или оптической диэлектрической проницаемости (выше или ниже области остаточных лучей), выте^акццсе из соотношений Крамерса — Крони-га 17). Статическая диэлектрическая проницаемость получается, если при интегрировании учитывать инфракрасное поглощение решетки, а если же им пренебрегают, то получается выражение для оптической диэлектрической проницаемости.
Правила сумм
j шє2 (W) (ku =Wp (32)
о
и
j w іш e"1 (о)) dw ---J wp (33)
о
(где (I)1, — плазменная частота свободных электронов, соответствующая полной плотности электронов системы) также вполне общие и применимы к произвольной системе многих электронов 171.
Выражения (31) и (32) полезно переписать приближенно для конечных пределов интегрирования и найти явные выражения интегралов, пользуясь результатами применения приближения случайной фазы для
Для Случая далеко отстоящих состояний ионного остова и в отсутствие (ї-зоп результат решения (32) при бесконечных пределах интегрирования будет включать в себя плазменную частоту, характерную для случая, иогда па атом приходится четыре электрона с массами свободного электрона. Следовательно, результаты интегрирования в конечном интервале от 0 до и0 будет проще выражать в виде геафф, представляющем собой эффективное число свободных электронов, вносящих вклад в оптические свойства118 X. Филипп, X- Эренраих
---—-
полупроводника в зтом интервале:
Uln
«эфф --= J <оєг (ш) du. (34)
Здесь N — плотность атомов в нристалло. Эффективную диэлектрическую проницаемо с ті,, возникающую за счет междузоппых перс-ходов в этом диапазоне, можно написать в виде
4)0
Eo, эфф- J (O-1B2(O))^Oi). (35)
о
Если взять B2 из выражения (20), то прямое интегрирование дает следующие результаты:
^^ пофф = (2m)-* (-І-):8 J <Pk 2 tfiftn («о), (36) . «о,.»-1 + (^)"1 (-?-)* J + tT*)Wi(fflO). (37)
где
Act (шо) = arctg(cuft —(Ol7)Tri -,- arctg (щ-\ (оГ[)тп±