Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
—)• (147,2)
Это уравнение можно получить непосредственно из уравнения (62,3), дифференцируя обе его части; этим путем находим:
dn (р — ff) н- ~ = dn' (р — сг') -+- ,
откуда вытекает уравнение (147,2).
506
Глава XII. Хроматизм оптических систем
В § 128 был введен символ Д, служащий для сокращенного обозначения разности двух значений функции, определяемых различными значениями величин, которые обозначаются одинаковыми буквами, но со значками вверху для отличия их значений до преломления и после преломления; было условлено вместо разности f(s't х', г', а', У)—f(s, х, i,a, Ь) писать сокращенно A/(s, х, г, а, Ь).
Пользуясь этим обозначением, можно написать уравнение (147,2) в таком вйде:
Применим уравнение (147,3) для вычисления продольной хроматической аберрации в случае системы, состоящей из к центрированных сферических поверхностей. Точки преломления лучей различного цвета через какую-нибудь поверхность с номером i не совпадают, но все-таки лежат очень близко одна к другой; поэтому можно считать, что расстояния этих точек до оси системы одинаковы, и обозначить их буквою h(. Применим уравнение (147,2) к каждой поверхности системы и, кроме того, каждое уравнение умножим на квадрат ординаты точки преломления, т. е. на величину А2 с соответственным значком; тогда мы получим следующую систему к уравнений:
Из подобия треугольников на рис. 229, пренебрегая высотами сегментов для параксиального луча, находим:
nds
(147,3).
^i—1 ______ hi
Складываем почленно написанные уравнения и, так как
ds/ = dsl+1 и п/ — п.+],
сокращаем все члены попарно в левой части, кроме первого члена последнего уравнения и второго в первом уравнении; после сложения получим:
§ 148% Хроматическая аберрация положения в частных случаях
507
Из этого уравнения находим:
i=k
)• а«,ч
%-1
Значение суммы в правой части не зависит от выбора произвольной единицы измерения высот Л,-; эту сумму иногда называют первой хроматической суммой. Вводим обозначение:
*•=?
<147-6>
i-1
Принимаем во внимание, что
^=slUl и hk = sk' uk' = sk' uk+l,
и что
u*+i:“i=Y»
где у — угловое увеличение в плоскости изображений. После всех подстановок в формулу (147,5) находим для продольной хроматической аберрации следующую формулу:
^ = (147,7)
а — продольное увеличение.
Если предмет принадлежит реальному пространству, то dsx =0 и
d3t' = -?-Sr. (147,8)
§ 148. Хроматическая аберрация положения в некоторых частных случаях.
а) Найдем хроматическую аберрацию по'ложения изображения бесконечно далекой точки на оси оптической системы. В этом случае в формуле (147,8) произведение asx2 делается неопределенным, так как s2 -*¦ — со и ос —> 0. Применяя формулу (133,4), находим:
(148,1)
ds}! = -
S**—значение первой хроматической суммы, когда s2 — —оо; в этом
1со
случае dsk — продольная хроматическая аберрация фокуса системы.
б) В. случае системы, состоящей из бесконечно тонких линз, можно преобразовать формулы (147,7) и (148,1), введя фокусные расстояния или оптические силы отдельных линз (§ 86). Линза с номером i ограничена двумя поверхностями, номера которых 2г — 1 и 2г; сумма двух соответственных членов может быть написана в таком виде:
508
Глава XII. Хро кати эм оптических систем
как и в формуле (62,3),
S
У бесконечно тонкой линзы 5ji_1 = oa и, кроме того, Л2._, = Л2(; назове» эти величины для упрощения буквою Л*; равным образом обозначим показатель стекла линзы щ( буквою пг По формуле (90,5), определяющей оптическую силу о, линзы, находим, если d равно нулю:
Таким образом в этом случае первая хроматическая сумма (147,6) может быть представлена в таком виде:
^ = <148’2> 1=1
где
п,- — 1 П1---1
V := —I__________ —!— •
dnt nh — nc ’
если щ есть показатель преломления для луча D (желтая линия паров натрия) и dn{ =nF—пс, то величина v, есть число Аббе или показатель дисперсии, определяемой формулой (56,1); если щ и dne имеют другие значения, т. е. соответствуют другим длинам волн, то величина ч( должна быть вычислена для этих значений.
Формула (148,1) для системы бесконечно тонких линз в воздухе может быть написана в таком виде:
I- к
ds* =-/,22 1?' V = ~Г s? • (148’ 3>
Формулу (148,3) легко вывести непосредственно следующим образом. Для одной бесконечно тонкой линзы формулы (65,1) и (90,5) дают:
s s ' • V гг га / f
Дифференцируя обе части уравнения, находим:
ds' ds j/1 1 \ dn \ 9
S,? S* П ( Г] r2 } n —1 f •*
Применяем это уравнение к системе из к тонких линз, умножаем обе части каждого уравнения на h? и складываем все к уравнений почленно; подобно тому, как это было сделано при выводе формулы (147,4),
$-1 V
замечаем, что —73— = —7, сокращаем все равные члены и приходим
si—1
к уравнению:
»*=¦?
k?_dsk' _ hi» (/ж, ___ _>Г1 , 2 9<
st'2 sa2 ~ П> v, ’
§/48. Хроматическая аберрация положения в частных случаях
509
из чего следует уравнение (148,3), так как ds1==0 и f'.
hi щ 1
в) Если линзы находятся в соприкосновении, то все А, равны /г1( и уравнение (148,3) упрощается:
i=k
_____J *
<=1
Для простой линзы уравнение (148,4) дает:
