Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Приведем наиболее общий вид сферически симметричного интервала:
ds2=- еЧг2-е" (rW+r2 sin2 0 ейр2) +evdt2+2a dr dt. (94.1)
Здесь Я, р, v и а - функции только г и t, а коэффициенты -е\ -и +ev
заданы в экспоненциальной форме для того, чтобы пространственные
координаты г, 0 и <р явным образом отличались от временной t.
§ 94. ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ СИСТЕМ СО СФЕРИЧЕСКОЙ СИММЕТРИЕЙ 247
Эту общую форму сферически симметричного интервала легко, однако,
упростить, сделав ряд преобразований. Начнем с того, что введем новую
пространственную переменную г', определив ее уравнением
г'2=е"г2. (94.2)
Подставив ее в (94.1) и опустив штрих, легко убедиться, что интервал
примет вид
ds2 --exdr2-r2dB2-г2 sin20 dq>2-\-evdt2-\-2a dr dt, (94.3)
где A,, v и a - уже новые функции новых переменных г и t.
Попытаемся теперь исключить в (94.3) смешанные произведения. Для этого
введем новую переменную f с помощью уравнения
dt'-r\(adr-\-evdt), (94.4)
где т} - интегрирующий множитель, превращающий правую часть в полный
дифференциал. В соответствии с (94.4) имеем
Ht' 2 л*
e4t: +2adrdt = -^--^dr2. (94.5)
r|2ev e
Подставив это в (94.3) и опустив штрихи, придадим выражению для интервала
простой стандартный вид:
ds2 = -ех dr2-r2dB2-г2 sin2 Bdq>2-\-e4 dt2,
X=K(r, t), v = v(r, t), (94.6)
где X и v - функции, зависящие только от введенных выше
г и t [69].
Возможность исключения единственного смешанного произведения путем
введения интегрирующего множителя (94.4) сильно упрощает рассмотрение
задач со сферической симметрией.
Для наших целей, однако, более удобна несколько иная запись сферически
симметричных интервалов. Она следует из
(94.6), если ввести новую переменную г' с помощью соотношения
i_
~р- - е* -у-. (94.7)
dr' dr
Используя эту подстановку и опуская штрихи, можно выразить интервал в
виде
ds2=-e"(dr2-\-r2dQ2-\-r2 sin2 0 dtp2) -\-evdt2,
ц = ц(г, t), v=v(r, /), (94.8)
где (д. и v - функции участвующих здесь г и t. Путем дальнейших очевидных
преобразований приведем последнее выражение
248
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
к виду
ds2 - ~ev- (dx2-{-dy2-{-dz2) -\-evdt2, p = p(r, t), v=v(r,t), r =
Vx2+y2+z2. ^94'9^
Две последние системы координат могут быть названы изотропными.
§ 95. Статический сферически симметричный интервал
Приступим к более подробному обсуждению общих формул, предложенных выше в
качестве решений уравнений .поля. Чтобы получить из них решения в явном
виде, необходимы точные выражения символов Кристоффеля и компонент
тензора энергии - импульса через величины, в которых записаны интервалы.
Начнем наше рассмотрение с физических систем, которые являются и
статическими, и сферически симметричными. Тогда согласно (94.6) мы можем
выразить наш интервал в стандартной форме:
ds2=-e^dr2-г dQ2-г2 sin2 0 d^-^-e'dt2,
K=K(r), v=v(r). (95-1)
Символы Кристоффеля первого рода, соответствующие этой форме интеграла,
легко вычислить, используя их определение (73.14); в результате получаем
-pi ^ f рЗ 1 р2 1
А 11 = " Л> 131=_7"> 121 - - >
1?,- Гз2 = ctg 0, Ги=-ге-\
гз Г4а = -/-ЯП* ве-\ Пз - ctg 9. (95.2)
Г13 = -, " rf 1
Г
Г|3 = - sin 0 cos 0, ^4l 2 v
Tu ~ -j- v'> T\4 = 4rev-V,
где штрих означает дифференцирование по г. Символы, содержащие все прочие
наборы индексов, исчезают.
Используя эти величины для символов Кристоффеля, мы можем вычислить
компоненты R",v свернутого тензора Римана - Кристоффеля, определяемого
выражением (77.2), а компоненты 7Vv тензора энергии - импульса получить
согласно его определению (81.6). Последний наиболее просто выражается в
виде смешанного тензора. Неисчезающие его компоненты выглядят
§ 95. СТАТИЧЕСКИЙ СФЕРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНЫЙ ИНТЕРВАЛ 249
следующим образом:
8л71 = 8яТз = - е-х(? - - Л, (95.3)
8я Ti=e-x(^--pJ+±-A.
При нахождении величин (95.2) и (95.3) мы использовали выражение для
интервала (94.6).
Можно, конечно, провести аналогичные вычисления и для случая изотропного
интервала (94.8):
ds2 = - e>l(dr2-\-r2dQ2-\-r2 sin2 0 dip2) -{-evdt2,
jj.=jj. (/"), v=v(r). (95.4)
Символы Кристоффеля, соответствующие этому интервалу, в случае
статической системы имеют вид
Т-~Л 1 f рЗ 1.1 г
1 11 ~2~ ^ 1 з* f 2~ ^ "
Г2 == - J- - п/ ^32 = ctg 0,
i 12 - I о I-1 ?
2
гз 1,1, Гзз =-(г+ 4'rV)sin2
Г!3 = -4-^-р v >
т-4 I г
Гм = -д-v ,
Г |3 = - sin 0 cos 0,
2~v ' (95.5)
"о 1,1, т-4 1 ,
Г21 = - 4--2-.U , Г41 = - v
Г
Г12 =-(r+4-',v).
Г23 - ctg 0,
где штрихи, как и прежде, означают дифференцирование по г, а все другие
символы оказываются равными нулю.
Выпишем также неисчезающие компоненты тензора энергии-• импульса,
соответствующие этой форме интервала:
О -J 02 , , К+ Л
250
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
Рассмотрим теперь систему, образованную из идеальной жидкости. Перепишем
еще раз определение тензора энергии - импульса идеальной жидкости (85.7):
T^ = (P0o + Po)^-^--g^Po, (95.7)
или с опущенным индексом:
/г!v / . ^ dx dx v /лр" г\\
= (Роо + Po)§aij.-fc fa guP о- (95.8)
Поскольку, однако, мы ограничиваемся рассмотрением статической задачи,
