Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
- 8л (з? + tl) = (flS - -i Rgi) V~g. (87.16)
Однако, поскольку не настоящая тензорная плотность, она не будет
выглядеть столь же просто во всех других системах координат.
§ 88. Закон сохранения энергии - импульса для конечных систем
Новая формулировка законов механики позволяет получить важные выражения,
которые можно рассматривать как релятивистские аналоги обычных законов
сохранения энергии и импульса.
Начнем с того, что обозначим через х\ х2 и х3 координаты, соответствующие
обычным пространственным координатам, а через х4 - соответствующую
обычной временной, и применим уравнение (87.14) к рассматриваемой
конечной системе. Умножая затем (87.14) на dxldx2dxz и, интегрируя при
некотором заданном моменте "времени" х4 по пространственному объему,
занимаемому системой, после некоторой перегруппировки членов получим
1 i I Ш* dxldx2dxz = - j j j (г'ц + t ц) +
+ 07"(зй-М2") +?i{zl + ttydx4x*dx*. (88.1)
Пределы интегрирования здесь соответствуют размерам рассматриваемой
области: от х1 до х'1, от х2 до х'2 и т. д. - и считаются не зависящими
от "времени" х4. Поэтому (88.1) можно переписать, если проинтегрировать
соответствующим образом в нем правую часть, в виде
d4l Ш (г I +11) ix'dx'dx* = - И | < + t W'dx'dx* -
- I J|? I + t2J?' dx4x-5 - J J |S I + tl№ dx4x-\ (88.2)
В этой форме уравнение (88.2) справедливо в любой системе координат
вследствие его прямой связи с ковариантным
234
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
уравнением (87.14).Интерпретация и использование полученного уравнения
часто облегчаются, если выбрать координаты так, чтобы граница
интегрирования х1, хп и т. д., которая должна охватывать интересующую нас
область, проходила как раз по разделу системы и окружающей среды. Так,
например, квази-декартовы координаты х, у, z с пределами интегрирования
от х до х', от у до у', от 2 до г', соответствующими действительной
границе системы, предпочтительнее для наших теперешних целей, чем,
скажем, полярные координаты г, 0 и ф с пределами интегрирования от 0 до
л, от 0 до я и от 0 до 2я, из которых лишь г на самом деле определяет
границу. Упрощение при надлежащем выборе координат происходит потому, что
правая часть (88.2) в этом случае определяется лишь величинами и т.
д.,
заданными на границе системы, и не зависит от их значений внутри системы.
Выберем координаты указанным образом. Тогда из уравнения
(88.2) следует, что левая часть, т. е. скорость изменения
пространственного интеграла со "временем" х4, равна сумме поверхностных
интегралов в правой части, величина которой полностью определяется
условиями, заданными на границе раздела системы и окружающей ее среды.
Таким образом, уравнение (88.2) записано в такой форме, что его можно
рассматривать как выражение закона сохранения, если правую часть (88.2)
считать определением потока, пересекающего границу. Далее, если взять
предельный случай "плоского" пространства - времени, когда применима
специальная теория относительности, уравнение (88.2) может быть
переписано в галилеевых координатах следующим образом:
^ Ш тУхЧхЧх* = -JJ \тЦУ dx4 хя -
- f J \Т№ dx'dx* -1117*|?" dx4x\ (88.3)
так кат: tl = 0 согласно (87.15), A=0 для "плоского" пространства, a
Sjiдолжно быть равноТ^, поскольку"^-?=0 з выбранных координатах.
Сравнивая полученное уравнение с уравнением
(38.10), мы увидим, что при ц=1, 2, 3 уравнение (88.3) полностью
эквивалентно релятивистскому выражению - следствию закона сохранения трех
компонент количества движения, а при [i=4 уравнение (88.3) совпадает с
законом сохранения энергии *).
*) То, что индекс р в (88.3) стоит внизу, а в (38.10) вверху, не суще-
ственно, поскольку из соотношения (Т^)^ = 0 следует и [ga(ITav)v
=(rjj[jv=0 ввиду равенства (ga|A)v =-0 (см. уравнение (35) из Приложения
III).
§ 88. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА
235
Итак, можно считать, что уравнение (88.2) в общей теории относительности
является аналогом обычного закона сохранения энергии - импульса, если
принять величину
•fn = Ш + *1) ЛхЧхЧх* (88.4)
при ц=1, 2, 3 за определение импульса данной области и при ji=4 за
определение ее энергии. Согласно этому определению можно теперь
рассматривать величины 35,1 в качестве плотностей энергии и импульса
вещества, a как плотность по-
тенциальной гравитационной энергии и импульса. Введение потенциальной
энергии и импульса, необходимое для аналогии с обычными законами
сохранения энергии и импульса, приводит к тому, что полная собственная
энергия изолированной системы может не быть постоянной, как было замечено
в конце § 86.
Итак, с помощью (88.4) мы ввели величины /ц, которые можно рассматривать
как энергию и импульсы конечной системы, не составляющие, однако,
настоящего ковариантного вектора. Тем не менее эти величины определены во
всех системах координат формулой (88.4) и уравнения, в которых фигурируют
/ц, являются ковариантными, т. е. справедливыми во всех системах
координат.
Физический смысл величин /ц наиболее легко понять, применив их для
