Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Максвелла - Лоренца можно записать с помощью двух векторов, заданных в
галилеевых координатах: обобщенного потенциала ф41, определенного через
обычный векторный потенциал А и скалярный потенциал ср:
Ф^= {Ах, Ау, А" ф), (102.1)
и обобщенной плотности тока Jкомпоненты которой выража-
266
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
ются через собственную плотность заряда р0 и скорость dx^/ds или, иначе,
через плотность заряда р и плотность тока ри, заданные в любой системе
координат:
Эти два вектора позволяют объединить уравнения Максвелла- Лоренца,
заданные в галилеевых координатах, которые допустимы и в специальной
теории относительности, записав их в виде двух уравнений:
5ф" (ЗФи = (102'3)
И
(102.4)
дх
Первое уравнение здесь выражает антисимметричный тензор электромагнитного
поля Fчерез обобщенный потенциал ср^, а второе связывает этот тензор с
вектором тока.
Оба уравнения надо считать справедливыми в "плоском" пространстве -
времени специальной теории относительности и записанными в галилеевых
координатах. Из принципа эквивалентности, одиако, следует, что в общей
теории относительности соответствующие им уравнения должны иметь тот же
самый вид, если они заданы в естественных координатах рассматриваемой
точки. Следовательно, разумно предположить, что путем простой
ковариантной формулировки приведенных выше уравнений специальной теории
относительности можно получить обобщенные релятивистские уравнения.
Займемся этим.
Поставленная задача очень проста. Определения обобщенного потенциала и
тока (102.1) и (102.2) вообще не нуждаются в модификации, ибо, задав эти
векторы в одной из систем координат, мы можем найти их по правилам
тензорных преобразований во всех системах координат. А чтобы получить
ковариантную формулировку самих уравнений, нам следует лишь заменить
обычное дифференцирование ковариаитным. Тогда в качестве уравнений
электромагнитного поля в общей теории относительности получим
= (<Pn)v - (фу)и = (102.5)
и
(/^v)v-/и.
(102.6)
5 103. ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ
267
Заметим, что по внешнему виду первое уравнение вообще не отличается от
первоначального, так как оба члена, которые возникают при замене обычного
дифференцирования ковариантным и содержат символы Кристоффеля, взаимно
уничтожаются.
§ 103. Движение заряженной частицы
В дополнение к уравнениям поля надо ввести в теорию выражение,
описывающее движение заряженных частиц. Оно естественно получается путем
ковариантного обобщения пятого фундаментального уравнения Максвелла -
Лоренца (41.4),дающего силу, которая действует на частицу, движущуюся в
электромагнитном поле. Это уравнение принимает следующий вид:
d, I гн 1 dxa <б*р е Fv.dxa _п ПП2П
где е/т0- отношение заряда частицы к ее массе покоя, а К?= =gveFia -
введенный выше тензор электромагнитного поля. Мы убедимся ниже, что это
уравнение учитывает совместное воздействие гравитационного и
электромагнитного полей на частицу.
Чтобы показать, что полученное уравнение является разумным обобщением
обычного способа задания силы, действующей на заряженную частицу, надо
показать, во-первых, что, выражение (103.1) на самом деле записано
ковариантным образом, т. е. что оно справедливо во всех системах
координат, если оно справедливо в одной, и, во-вторых, что оно сводится в
естественных координатах к обычному выражению для силы, действующей на
движущуюся частицу.
Чтобы показать ковариантность выражения (103.1), заметим, что его можно
переписать в виде
/ dx^\ , е "ul I dx'
^" + ^Й]Ы = 0* (Ю3.2)
из которого следует, что оно является тензорным уравнением ранга единица.
Чтобы показать, что в естественных координатах это выражение переходит в
обычную формулу для электромагнитного поля, заметим, что символ
Кристоффеля обращается в нуль из-за исчезновения гравитационных эффектов
в свободно падающей системе отсчета. Используя выражение для тензора поля
Fв естественных координатах (46.9) и вспоминая, что в соответствии с
(20.5) ds/dt можно рассматривать как множитель, характеризующий лоренцево
сокращение У1-и2 (где и - обычная скорость частицы в выбранных нами
единицах), мы можем
268
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
написать вместо (103.1) четыре знакомых нам по форме уравнения:
ft (fffti) = еЕ* + е (иУНz -
ft[$^) = eE, + e{U'H*-uM.
V ' (103.3)
ft = еЕг +г {и*н" - u"Hx)'
Hv^?) = e{UxExlJvU*Ez)'
В принятых нами здесь единицах мы узнаем в этих выражениях обычные
уравнения, описывающие воздействие электромагнитного поля на импульс и
энергию частицы.
§ 104. Тензор энергии - импульса
Для завершения перевода электродинамики Лоренца в релятивистский вид
получим ковариантное выражение для электромагнитного тензора энергии -
импульса. Его выражение через тензор поля F^v дается формулой
[7^] #м = _ Ера + I ар. (104Л)
Легко убедиться, что это выражение действительно удовлетворяет всем
необходимым требованиям. Очевидно, что оно кова-риантно, поскольку
является тензорным уравнением (ранга два). Далее, если использовать
