Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
(38.4)
§ 38. ПРИМЕНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
87
где пределы интегрирования по поверхности, ограничивающей рассматриваемый
объем, обозначены здесь символами х, х' и т. д. Получив соотношение
(38.4), мы связали тем самым скорость изменения импульса внутри
рассматриваемого пространственного объема с величинами pih заданными на
поверхности, ограничивающей этот объем. В случае изолированной системы
это приводит, естественно, к закону сохранения импульса.
Мы можем также рассматривать уравнения движения в их прежней форме
(32.4):
4-ЬМ = -Ц-Ь>. (38.5)
Эта формула дает скорость изменения импульса бесконечно малого элемента
вещества, занимающего в данный момент объем 6о, в отличие от найденного
ранее выражения для скорости изменения плотности импульса в данной точке.
На этот раз вместо интегрирования по фиксированному объему пространства
мы проинтегрируем по объему, находящемуся в данный момент внутри
поверхности, которая ограничивает этот объем вещества, и получим для
скорости изменения импульса этого вещестза следующее выражение:
Ф1 = ТI ** = - Ш (Зг + ¦& + ¦?> - to <ЗМ)
Или, выполняя интегрирование по частям, можно переписать
(38.6) в виде
gidv = -tix\ dydz- dxdz- jj\tiz\^dxdy,
' (38.7)
где пределы интегрирования по ограничивающей поверхности обозначены
буквами х, х' и т. д. и используется символ |G(| для обозначения импульса
заданного количества вещества, отличного от импульса Gh принадлежащего
заданному объему пространства. Уравнение (38.7) связывает скорость
изменения импульса данного количества вещества с силами, действующими на
него, и сводится опять-таки к закону сохранения импульса изолированной
системы.
В заключение настоящего параграфа укажем, что формулы
(38.2) и (38.4) для скоростей изменения массы и трех компонент
импульса вещества, находящегося в данном объеме пространства, могут быть
выражены на четырехмерном тензорном
?8 ГЛ. HI. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
языке с помощью единственного обобщенного уравнения. Чтобы сделать это,
выпишем уравнения движения и уравнение непрерывности в виде (37.9):
где Т^' - тензор энергии - импульса, определенный в § 37. Интегрируя по
пространственным переменным хх, х2, хъ в пределах выделенного нами
объема, получаем
Выполняя затем интегрирование по частям и производя перегруппировку,
переписываем последнее соотношение в виде
где пределы интегрирования по ограничивающей поверхности обозначены
символами х1, хп и т. д.
Этот результат может быть назван законом сохранения энергии- импульса в
применении к областям конечных размеров. Считая, что компоненты заданы
формулой (37.8), видим, что для ц=1, 2, 3 это соотношение связывает
скорость изменения во времени х4 компонент импульса данной области с
условиями на ее границе, что эквивалентно трем уравнениям (38.4). А для
р,=4 оно связывает граничные условия со скоростью изменения массы или
энергии и эквивалентно уравнению (38.2). Таким образом, уравнения (38.10)
согласуются с представлением, что за изменения массы, энергии и импульса
вещества, заключенного в данной области, ответствен поток, пересекающий
ее границу. В случае же изолированной системы эти уравнения сводятся, как
мы убедились, к законам сохранения массы, энергии и импульса.
б) Момент количества движения системы конечных размеров, Обычно нас
будет в первую очередь интересовать величина момента количества движения
для конечной системы, а не для некоторого фиксированного в пространстве
объема. Для конечной системы можно определить компоненту момента
количества движения, скажем, относительно оси 2, задав ее обычным
образом, как интеграл:
dTni дТ№ дт^-3 , дТ^
дх1 дх2 дх3 дх1
dxxdx2dx3 = 0. (38.9)
5 S1 dxldx4x3 = ~ 111гд11 ,dx4x3 -
- \ f |7>2| ' dx1 dx3 - f f |ГЧ dxW\ (38.10)
Mz = j (xgy - ygx) dv,
(38.11)
§ 38. ПРИМЕНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
89
взятый по объему, который заполнен веществом, образующим систему; х и у
здесь являются координатами бесконечно малого объема вещества dv, a gx и
gy - соответствующими компонентами плотности импульса в данной точке.
Дифференцируя это соотношение по времени и используя выражение (38.5) для
скорости изменения импульса в элементе dv, легко получить
d С, .,
чг = чг J ^ dv =
= I У~Щ ^ u*?y~ uyg*)dv (38.12)
в качестве выражения для скорости изменения во времени
2-компоненты полного момента количества движения системы.
После громоздких выкладок это выражение можно переписать в виде,
показывающем, каким образом должны действовать на систему внешние силы,
чтобы изменился ее момент количества движения. Интегрируя по частям
первые два члена в последнем выражении, получаем
д*,п . dtxi\ , Г Г Г/ dt"r dt,
X^PL-X^L дх ду
dt. z dt dt dt \
- x -[- у --г-1- -у у - ¦- у- -|- у -у- \dxdydz == dz ' J Ox 1 v dy 1 v
dz j J
% p У
xtyX -j- ytXx | dy dz -j- i \ | xtyy - ytXj | dx dz --X J J у
|- xtyz -y ytX2\ dxdy + (tyx - txi) dxdydz, (38.13)
где пределами интегрирования служит поверхность, ограничивающая систему и
