Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Поскольку в собственной системе координат скорость в рассматриваемой
точке равна нулю, в этой системе справедливы обычные законы ньютоновской
механики, которые ведут, как известно, к симметрии тензора натяжений, т.
е. в системе S0 для t°ij должны выполняться соотношения
i0 j.0 j.0 j0 j0 ,0 /QA Ч
•'ху - lyxy Lyt - hyy '¦xz -- lzX'
Однако на .основании (34.5) можно сделать важное заключение, что тензор
натяжений в системе 5 несимметричен, так что, вообще говоря, если точка
движется в данной системе координат, то следует ожидать, что
tu?=tji. (34.7)
Заметим, что важность формул (34.5) состоит в том, что они позволяют
найти натяжения в быстро движущемся веществе через известные выражения
для натяжений в покоящемся.
*) Эти правила преобразований отличаются от тех, что даны в предыдущей
книге автора [3] в § 122, поскольку натяжения там были определены для
единичного собственного объема вещества. Приведенное определение через
силу, действующую на единичную площадку в некоторой произвольной системе
координат, выбрано согласно Лауэ [30].
§ 35. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОТНОСТЕЙ МАССЫ И ИМПУЛЬСА
77
§ 35. Формулы преобразований для плотностей массы и импульса
Выше были получены уравнения (34.5), позволяющие вычислять натяжения в
любой заданной точке среды через натяжения, измеренные наблюдателем,
движущимся с этой точкой. Теперь, как намечалось в начале предыдущего
параграфа, мы найдем уравнения, позволяющие вычислять плотность массы р и
плотность импульса gi через величины, которые могут быть измерены
наблюдателем, движущимся с веществом. Вывод этих соотношений- уже более
сложная и громоздкая задача, и для этого мы должны будем использовать
релятивистские соотношения между массой, энергией и импульсом, которые
составляют ту часть аксиоматического базиса, сформулированного в § 30,
которая до сих пор не находила применений.
С помощью этих соотношений мы сначала получим выражение для импульса
движущегося объема среды через его массу (или энергию), скорость и
величины натяжений. Это выражение в свою очередь позволит нам определить
силу, действующую на данный объем вещества, когда изменяются его импульс
и скорость, а следовательно, вычислить проделанную работу и увеличение
энергии, когда его скорость увеличится от нуля до некоторого заданного
значения. Тогда мы будем в состоянии определить массу, энергию и импульс
движущегося вещества через его скорость и и массу, энергию и натяжения,
измеренные наблюдателем, движущимся вместе с этим веществом. Перейдем к
этой задаче.
Из наших представлений о связи между плотностью импульса и плотностью
потока энергии (27.6) вытекает, что импульс движущегося объема вещества,
в котором имеются натяжения, создается не только благодаря
непосредственному движению самой массы, но и за счет потока энергии,
возникающего вследствие работы, производимой натяжениями, которые
действуют на грани рассматриваемого объема. Таким образом, если имеется
вещество плотности р, движущееся со скоростью и, которую мы примем для
простоты параллельной оси х, можно выразить плотность импульса в х-, у- и
г-направлениях в виде
trru t и t и
8х = ри + ^г-, gy = ^h> (35.1)
Здесь t^u, txyu и txzu, очевидно, являются плотностями потока энергии в
соответствующих направлениях, связанных с действием натяжений, а
знаменатель с2 учитывает различие единиц измерений массы и энергии. Итак,
получен важный и интересный результат в релятивистской механике,
заключающийся в том, что в напряженном теле возникают компоненты
импульса, перпендикулярные к направлению движения.
78 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
Полный импульс малого объема среды v можни выразить тогда согласно (35.1)
в виде
п E + txxv ,, п _ lXtP " п [xf_ " /оп 0\
GJ, ^2 у С1 ' z с2 (35.2)
где для удобства полная масса выражена через энергию Е, поделенную на с2.
Теперь из определения силы как скорости изменения импульса мы можем
написать, что
d (E+'Xxv
F-1 у ti
7 Г ЧГ
F- = - dt
(-^-4 (35.3)
суть компоненты силы, которую надо приложить к веществу, находящемуся в
объеме v, чтобы придать этому веществу скорость и, параллельную оси х.
Мы можем теперь вычислить величины работы и энергии, необходимой для
того, чтобы заданный элемент деформированного материала увеличил свою
скорость от нуля до нужного значения. Рассмотрим выделенный объем
вещества о0, содержащий энергию Е° и испытывающий натяжения t%, который
приобретает скорость от нуля до заданной вследствие адиабатического
ускорения, параллельного оси а. Под адиабатичностью подразумевается, что
параметры, описывающие состояние вещества (т. е. величины о0, Еъ и ttj),
остаются неизменными с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с
веществом. Вследствие лоренцева сокращения (9.3) объем, движущийся со
скоростью и, уменьшается следующим образом:
v = v° УI- и2/с2, (35.4)
а в соответствии с формулами преобразований для натяжений
(34.5) в течение всего процесса ускорения должно выполняться
