Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
сделать малой плотность излучения р.
Следует отметить, что выражение (113.1) получено в предположении о
стационарности пучка излучения, так что не было нужды явно вводить
запаздывающие потенциалы. Отсюда, однако, следует, что полученное
выражение неприменимо для моментов времени, близких к моментам
возникновения или исчезновения пучка. Надо также помнить, что мы
предположили, что излучение распространяется только вдоль оси х,
пренебрегая дифракционными эффектами на границе пучка. И наконец, укажем,
что рассматриваемое выражение дает вклад в поле лишь самого пучка
излучения и пренебрегает вкладами от тел, являющихся источниками или
поглотителями этого излучения. Последнее означает, что игнорируются также
любые эффекты, возникающие вследствие изменений в движении или во
внутреннем состоянии этих тел, которые могут быть связаны с потоком
излучения. При выполнении всех этих условий можно считать, что формула
(113.1) определяет гравитационное поле в окрестности пучка света конечной
протяженности.
б) Скорость пробного светового луча вблизи пучка. Для того чтобы
определить характер гравитационного поля вблизи пучка, рассмотрим сначала
движение пробных световых лучей, а затем движение пробных частиц вблизи
пучка.
Чтобы исследовать поведение пробных лучей, выпишем с помощью выражения
(113.1) формулу интервала вблизи пучка:
ds2 = - (1 - hn) dx2 - dy2 - dz2 + (1 + hn) dt2 - 2/iu dx dt.
Приравняв это выражение к нулю (как это следует делать для света) и
поделив его затем на dt2, получим общее уравнение для скорости пробных
лучей вблизи пучка:
(1 " йп) 1&-+1F- + TIF+ 2Лц -5Г = 1 + 113 2)
Рассмотрим сначала случай, когда пробные лучи движутся параллельно оси х
(а следовательно, и пучку). Тогда уравнение
§ ИЗ. ГРАВИТАЦИОННОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ ПУЧКА СВЕТА
283
для скорости имеет решения
*L= + i и-? = -1±?;. (пз.з)
Рассматривая далее случай, когда пробные лучи распространяются
параллельно оси у, т. е. в плоскости, перепендикулярной пучку, приходим к
следующим решениям:
-f'=±T/T+ftn. (113.4)
Из выражений (113.3) видим, что пробные лучи света, движущиеся
параллельно пучку в том же самом направлении, что и свет в пучке,
обладают единичной скоростью в любой точке поля; напротив, скорость
пробного луча, движущегося в любом другом направлении, определяется, как
и следовало ожидать, ориентацией этого луча в гравитационном поле
изучаемого пучка, поскольку величина hn зависит от их взаимного
пространственного расположения (см. (113.1)).
Можно также найти ускорение пробного луча в этом гравитационном поле.
Дифференцируя выражение (113.2), получаем уравнение для ускорения в общем
виде: с( dx и dx , и \ ilx , 0 dy d3y , 0 dz d2z
г Ли ИГ ~г ? dt dt* " dt ~W ~~
-(-af-2т+')т"°- С >з.5)
Отсюда для частного случая, когда мгновенные значения компонент скорости
пробного луча равняются
-аН'. -зг = -зг = °. ""ад
получаем
-37?-=0. (U3.7)
т. е. скорость такого пробного луча остается единичной и параллельной
пучку, а следовательно, в соответствии с общим выражением (113.2), все
время остаются нулевыми компоненты скорости, перпендикулярные пучку.
Этот результат весьма любопытен, так как означает, что в
частном случае параллельных и одинаково направленных лучей
света гравитационное взаимодействие между лучами не возникает. Этот вывод
согласуется с предположением, что изучаемый пучок света стационарен, и
подтверждается свойствами параллельных лучей, которые приходят от
удаленных астрономических объектов.
284
ГЛ. VIII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
в) Ускорение пробных частиц вблизи пучка. Найдем теперь, как
гравитационное поле пучка излучения воздействует на пробные частицы,
находящиеся первоначально в покое вблизи пучка.
Ускорение такой пробной частицы определяется согласно общему уравнению
геодезической (74.13):
d2xa , га dx11 dxv л + 1 ^ " и-
В случае покоящейся частицы, т. с. при условиях
dx _ dy dz " dt .
ds ds ds ' ds '
это уравнение принимает вид
d2xa ds3
+ Г4°4 = 0.
Подставляя значения символов Кристоффеля, соответствующие гравитационному
полю пучка (113.1), получаем в приближении, используемом при решении
уравнений поля, следующие выражения:
d2x 1 dhit d2y 1 о/г44 d2z 1 д/г44
ds2 2 дх ' ds2 2 ду ' ds2 2 dz
Далее, подставим сюда явное выражение для /г44 из (113.1), справедливое в
непосредственной близости с пучком. Тогда после некоторых преобразований
получим для частицы, которая вначале покоилась, следующее выражение для
параллельной пучку компоненты ускорения:
~^Г " 2р{ [х2 + у2 + г2]'1* [(/ - х)2 + у2 + z*]1/2]' (113-8^
а для компоненты ускорения в плоскости, перпендикулярной пучку, находим
0у__ 2р у (___ х , / | (П39)
dt2 " у2 4- г2\ [Х2 + у2 _|_ 23jl/2 ' [(/ _ ху + у2 +
г2]Ц2|.
Значения л:, у, г в этих формулах задаются положением пробной частицы;
напомним также, что световой пучок расположен вдоль оси х на отрезке от
х-0 до х-1.
Если пробная частица расположена в точке, одинаково удаленной от обоих
