Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
алгебраических уравнений:
(kL + k2 - p2mi) А - k2В = 0; -k2A + (k2 - p2m2) В = 0.
(ж)
(з)
Одно из возможных решений этих уравнений имеет вид А = В = 0, что
соответствует нахождению системы в положении равновесия и не дает
информации о колебаниях. Эти уравнения могут иметь ненулевые решения
только в том случае, когда определитель матрицы, составленной из
коэффициентов при А и В, равен нулю:
(*i + h
P2tn 1
k 2
k2 (k2 - p2m2)
- 0.
Разложение определителя имеет вид
(/zi + k2 - p mi) [k2 - p2m2) - k2 = 0
или
mxm2p4 - [т^з + m2 (k± + k2)] p2 + ktk2 = 0.
7 Тимошенко С. П. и др.
(и)
(К)
(л)
193
Это выражение, квадратичное относительно рг, представляет собой частотное
(или характеристическое) уравнение системы. Оно имеет два корня
(называемых характеристическими значениями), которые можно записать как
решения квадратного уравнения
2 -Ь -+- -4ас , ,
Pl-2= 2Й ¦ М
где
а = тхт2, b = - \rnyk., + т2 (ky + /г,) ];
с = Л'1/е2, (н)
Поскольку выражение, стоящее под знаком корня, всегда положительно, то
оба корня р\ и р\ являются действительными. Очевидно также, что значение
квадратного корня меньше, чем - Ь, и, следовательно, оба корня
положительны. Кроме того, решения (м) записаны так, что имеет место рх <
р2. Таким образом, характеристическое уравнение дает два значения
собственных колебаний, которые зависят только от физических постоянных,
определяющих эту систему.
Подставив характеристические значения р\ и pi в однородные алгебраические
уравнения (ж) и (з), обнаружим, что нельзя получить действительных
значений для А и В. Однако эти уравнения
можно использовать для получения отношений /у = АфВу и г2 =
= А2/В2, соответствующих р\ и р\:
. __ Ai ___________^2 - р\т2 . ,
1 By ky + k2 - p\niy ~ k2 ' '
" Аг_ __ h _ k2 - рт, ^
В2 ky 4- k., - plniy
Эти отношения амплитуд характеризуют формы двух собственных частот
колебаний (они также называются главными формами колебаний) системы. Они
двойственным образом определяются из уравнения (к), и их величина зависит
только от физических постоянных т1у пц, ky и k2.
Обозначив меньшую частоту через ру, а соответствующее ей отношение
амплитуд через г у, представления (д) и (е) запишем в виде
х{ = ГуВу sin (pyt + фх); (р)
Х2 = By sin (pyt -f- cpi). (с)
Эти выражения полностью определяют первую форму колебания, которая иногда
называется основной формой колебания. Она представляет гармоническое
движение обеих масс с круговой частотой рх и фазовым углом <px. При этом
движении в любой момент времени отношение перемещений хфх'ъ равно
отношению амплитуд г у. В каждом цикле колебаний обе массы дважды
проходят через положения равновесия и одновременно достигают своих
крайних положений. Здесь
194
не накладывается никаких ограничений на фазовые углы, но в соответствии с
выбранными представлениями (д) и (е) они должны быть одинаковыми для
обеих масс.
Подстановка большей круговой частоты р2 и соответствующего отношения
амплитуд г2 в представления (д) и (е) дает выражения
х\ = r2B2 sin (p2t + ф2); (т)
*2 = В2 sin (p2t -I- <p2), (у)
описывающие вторую форму колебания. Это простое гармоническое движение
обеих масс происходит с круговой частотой р2 и общим для них фазовым
углом ср2. В этом случае отношение перемещений всегда х\/х2 = г2.
Общее решение уравнений (в) и (г) представляет собой сумму решений (р),
(с), (т) и (у) для главных форм колебаний:
xi = х{ + х\ = г\В\ sin (рф + <pi) + r2B2 sin (p2t + ф2); (ф)
,t2 = *2 + x2 = Bi sin (рф -j- Ф1) + B2 sin (p2t -f ф2). (x)
Эти выражения содержат четыре произвольных постоянных интегрирования (В1,
В2, Ф1 и ф2), которые можно найти, рассмотрев четыре начальных условия
для перемещений и скоростей обеих масс в момент времени t = 0. Выражения
(ф) и (х) описывают довольно сложные по характеру движения, которые не
являются периодическими до тех пор, пока собственные частоты рх и р2 не
станут соизмеримыми. Система совершает чисто гармоническое движение
только в том случае, если с достаточной точностью удается начать его по
одной из ее главных форм колебаний.
Для произвольной системы с двумя степенями свободы всегда можно
определить ее частоты и формы колебаний так, как было показано выше для
системы, изображенной на рис. 3.1, а. Поскольку уравнения движения любых
систем со многими степенями свободы имеют одинаковую форму с точки зрения
математики, получением дальнейших решений пока заниматься не будем. Это
будет сделано систематическим образом матричными методами ниже в этой
главе, а также в гл. 4.
В качестве второго примера системы с двумя степенями свободы рассмотрим
закрепленную на пружинах массу (рис. 3.2, а). Все три пружины, показанные
на рисунке, лежат в одной плоскости и имеют коэффициенты жесткости kx, k2
и k3. Предполагается, что масса закреплена таким образом, что может
перемещаться только в плоскости пружин (т. е. в плоскости ху), и тогда ее
движение можно описать с помощью проекций на оси х и у перемещения
относительно положения равновесия. На рис. 3.2, а показаны также
