Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
в формулу (2.59), получим
xi = xt_! + x^Ati -1- хг_! (Ati)2/2. (в)
Вычитая из выражения (в) разложение (2.61) в ряд Тейлора для xlt получим
остаточный член ряда
Р' ___ (A^i)3 г, (Л^г)4 (4) --Р' I Р' I м
А* - g Xi_! 24-xi-1 - ¦ ¦ • - Адг1 Нх2 + • • • (Г)
В данном выражении абсолютная величина главного члена вдвое больше, чем в
выражении (2.63). Для того чтобы повысить точность результатов,
получаемых на первой итерации i-го шага, можно воспользоваться следующей
несколько более сложной формулой, которая справедлива только при
постоянном шаге по времени:
(.xl)1 = xi_i-\-2xi_1At. (2.69)
Это выражение охватывает два одинаковых шага по времени от i,_2 до tt
(см. рис. 2.23) и в нем используется значение ускорения средней точки в
момент времени t^. Подставляя выражение (2.69) в (2.59), найдем
Xi = xi_i + (*;_2 f *;_! -f 2x.i_i.At) At/2. (д)
181
Скорость ki_2 можно разложить в ряд Тейлора:
xt-2 = xt_! - Xj^At -j- (A02/4 - ¦ • ¦ (e)
Подставляя ряд (e) в выражение (д) и вычитая из полученного результата
выражение (2.61), найдем главный член ошибки локального усечения ряда
Rx = -^-xt. j, (ж)
который совпадает [см. выражение (2.63)] с Rxl.
Выражения (в) и (д) являются явными (или открытыми) экстраполяционными
формулами (или "предиктором"), с помощью которых приближенное значение в
явном виде выражается через ранее найденные значения х, х н х. С другой
стороны, выражение (2.60) называется неявной (или скрытой)
интерполяционной формулой (или "корректором"), которая позволяет находить
более точные значения xt, если найдено приближенное значение х;. Метод
усреднения по ускорению состоит в однократном использовании предиктора,
после чего применяются итерации с корректором. Такой подход известен как
метод предиктора-корректора.
Для решений итерационного типа требуется использовать некоторый критерий
для остановки процесса или изменения шага, а также необходимо задавать
предельное число выполняемых итераций. Наиболее удобным критерием
сходимости процесса на i-м шаге является сравнение разности двух
последовательных значений xt и главного члена в Rx. Однако вычисление
производных более высокого порядка, чем второй, не совсем удобно (причина
состоит в том, что сами по себе ряды Тейлора являются не очень хорошей
экстраполяционной формулой). Более удобный критерий состоит в
контролировании числа значащих цифр в x-t следующим образом:
\(Xi)j - (xi)j-i |< вх\ (*г);|> (2-70)
где ех - заданная малая величина. Например, желая получить приближенно
точность до четырех значащих цифр, можно взять ех = 0,0001. Именно с
такой точностью получены решения числовых примеров в данном параграфе.
Пример 1. Рассмотрим уже знакомое читателю линейное уравнение движения
системы с одной степенью свободы
тх -J- сх -J- kx = Q (t). (з)
Здесь задано: т- 1,79- 10а Н-с2/м; с= 2,15-Ю2 Н-с/м, k= 1,61 Н/м, Q (t) =
~ Qi= 40,1 Н (ступенчатая функция). Тогда имеем р = Yk/m = 3 с-1, п = =
сТ(2т) = 0,6 с-1, у = п!р = 0,2 и уравнение (з) принимает вид
х-\- 1,2* -J- 9* = 9. (и)
Точное выражение для динамических перемещений системы при демпфировании и
действии возмущающей силы в виде ступенчатой функции Q1 известно:
*:= -т- (cos ^ + irin ] = иг[1 ~
- Ae~nt cos (pAt - ад)], (к)
182
Рис. 2.24
где рд = р /Г^Т^ = з ДоД(Г с"1; А = /1 + (я/рд)2 = 3 /2/4; ад= = arctg
(л/рд) = arctg (0,2//0,9б). На рис. 2.24 представлен вид точного решения
для данного случая.
Готовясь применять численный способ решения, запишем уравнение (и) в
форме (2.55):
х = 9 - 9л: - 1,2*. (л)
Если начальные условия взять в виде х0 = 0 и х0 - 0, то начальное
значение уско-
рения (см. уравнение (2.56)]
* = 9. (м)
Будем использовать постоянный шаг по времени At = 0,1 с и вести
вычисления с точностью для перемещения до четырех значащих цифр [см.
неравенство (2.70)].
Решение. Первые приближения на первом шаге вычисляем по следующим
формулам:
(2.67) : (j^ = 0 -(- 9-0,1 = 0,9;
(2.65) : (*!>! = 0 -f 0,9-0,1/2 = 0,045;
(2.66) : (*i)j = 9 - 9-0,045 - 1,2-0,9 = 7,515.
Второе приближение дает
(2.64) : /i)2 = 0,45 -f 7,515-0,1/2 = 0,82575;
(2.65) : fob = 0 -f 0,82575-0,1/2 = 0,041288;
(2.66) : (*j)2 = 9 - 9-0,041288 - 1,2-0,82575 = 7,6375.
Третье приближение дает
(2.64) : (х^з = 0,45 -f 7,6375-0,1/2 = 0,83188;
(2.65) : (*j)3 = 0 + 0,83188-0,1/2 = 0,041594;
(2.66) : (*j)3 = 9 - 9-0,041594 - 1,2-0,83188 = 7,6274.
Четвертое приближение дает
(2.64) : х\ = 0,45 + 7,6274-0,1/2 = 0,83137;
(2.65).: = 0 + 0,83137-0,1/2 = 0,041569;
(2.66) : *i = 9 - 9-0,041569 - 1,2-0,83137 = 7,6282.
Пятое приближение дает
(2.64) : Д = 0,45 + 0,76282-0,1 /2 = 0,83141;
(2.65) : *! = 0 + 0,83141-0,1/2 = 0,041570;
(2.66) : xi = 9 - 9-0,041570 - 1,2-0,83141 = 7,6282.
183
Видно, что решение для первого шага получено с точностью до четырех
значащих цифр. За пять циклов итераций первое приближение для эторого
шага определяем следующим образом:
(2.64) : (х2)г = 0 + 2-7,6282-0,1 = 1,5256;
(2.65) : (xa)i = 0,08314 + 1,5256-0,1/2 = 0,15942;
