Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
В данном случае предполагается, что все рассеивание энергии происходит в
пластических шарнирах, а в самой конструкции энергия сохраняется
неизменной. Назовем описанный механизм рассеивания упругопластическим
демпфированием, которое представляет собой частный случай гистерезисного
демпфирования. При этом усилия представляются кусочно-линейными функциями
перемещения и имеют некоторое сходство с куло-новским трением, которое
также относится к типу гистерезисного демпфирования, рассмотренного в п.
ЕЮ. На рис. 2.8, а изобра-
* Rain berg W., Osgood W. R. Description of stress-strain curves by three
parameters. - NACA, Tech. Note, 1943, N. 902; Goel S. C., Berg G. V.
Inelastic earthquake response of tall steel frames.-Journal Struct. Div.
Amer. Soc. Civil Eng., 1968, v. 94, N. 8, pp. 1907-1934; Popov E. P.,
Pinkney B. R. Cyclic yield reversal in steel building joints. -Journal
Struct. Div., Amer. Soc. Civil Eng., 1969, v. 95, N. 3, pp. 327-353.
136
жена система с одной степенью свободы с сопротивлением в виде силы трения
F, а на рис. 2.8, б представлена форма петли гистерезиса для этого
случая. Если после первого приложения силы Р не возникает остаточной силы
трения, график зависимости силы Р от перемещения х представляется линиями
1 и 2 на рис. 2.8, б. Последующее уменьшение, а затем и изменение знака
нагружения представляются линиями 3 и 4; при этом изменении знака
нагрузки приводит к повторному нагружению в соответствии с линиями 5 и 6.
В этом случае билинейная диаграмма состоит из двух наклонных линий 2 и 4
(обе линии имеют тангенс наклона, равный жесткости k пружины) и множества
вертикальных линий, две из которых представлены в виде линий 5 и 5.
Интересно отметить, что если тангенсы углов наклона линий типа 1 и 3 (см.
рис. 2.7, г) взять равными бесконечности, а тангенсы углов наклона линий
типа 2 и 4 (рис. 2.8, б) положить равными нулю, обе задачи,
представленные на этих рисунках, станут идентичными с математической
точки зрения. Предыдущая задача относилась к случаю жесткопластической
восстанавливающей силы, когда деформация элемента в упругой области
предполагается малой по сравнению с деформациями материала в пластической
области. С другой стороны, эта задача описывает повышение груза без
пружины, когда его движению препятствует только трение.
Как уже упоминалось в п. 1.10, все известные механизмы рассеивания, за
исключением вязкого демпфирования, приводят к нелинейным колебаниям.
Например, жидкостное (или осуществляемое по закону "скорость в квадрате")
демпфирование обусловлено пропорциональным х | х | членом, появляющимся
в]уравнении движения тела, перемещающегося с высокой скоростью в
жидкости. Однако в дальнейшем всегда будем предполагать, что масса и
характери-
137
стики демпфирования и жесткости колебательной системы не изменяются во
времени и что функция возмущающей силы не зависит от перемещения,
скорости и ускорения. Упомянутые предположения позволяют рассматривать
задачи устойчивости колебаний, вязкоупругости и автоколебаний *, что
выходит за рамки данной книги.
ЗАДАЧИ
2.1.1. На рис. А.2.1.1 показана сосредоточенная масса т, закрепленная на
четырех линейно упругих пружинах, каждая из которых имеет жесткость k и
длину I в ненапряженном состоянии. Записать: а) нелинейное уравнение
движения с учетом больших перемещений массы в направлении оси х\ б)
приближенное нелинейное уравнение движения с учетом больших перемещений;
в) приближенное линейное уравнение при малых перемещениях.
Ответ:
а) тх + 2kx (2 - UV12 + х2) = 0; б) тх + 2kx [ I + х2/(2/2)] = 0; в)
тх + 2kx = 0.
2.1.2. Показанная на рис. А.2.1.2 система аналогична рассмотренной в
задаче 2.1.1, за исключением того, что угол, составляемыйжаждон
пружиной'с осью х, равен 45°. Записать: а) нелинейное уравнение движения
с учетом больших перемещений массы в направлении оси х; б) приближенное
линейное уравнение движения при малых перемещениях.
Ответ:
1 1
а) тх + 2k I 2х - I
у 1 + 1 (1 + V~2x/l) V 1 + 1/(1
б) тх + 2kx - 0.
]f2 x/lf
O',
2.1.3. Для прикрепленного к пружине маятника, показанного на рис.
А.2.1.3, записать: а) нелинейное уравнение движения с учетом больших
углов наклонов;
б) приближенное линейное уравнение движения при малых углах наклонов.
* Обсуждение вопросов автоколебаний и устойчивости колебаний см. в гл. 7
и 8 кн. Den Hartog J. P. Mechanical vibrations. 4th ed. New-York: McGraw-
Hill Book Co., Inc., 1956. 436 p. (опубликован перевод: Ден-Гартог Дж.
Механические колебания. М.: Физматгиз, 1960. 464 с.).
138
Ответ-.
з) '<P + -fj- [^шф + -^-cos (ф-0)] =0,
где
2.1.4. Для связанного с пружиной маятника, показанного на рис.
А.2.1.4, записать: а) нелинейное уравнение движения с учетом больших
поворотов; б) приближенное нелинейное уравнение движения с учетом больших
поворотов; в) приближенное линейное уравнение движения при малых углах
наклонов.
2.1.5. На рисунке показана масса, связанная с установленной наклонно
