Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
повторяющихся сериях вычислений. Последний упомянутый метод численного
исследования и будет обсуждаться в данном параграфе применительно к
нескольким типам интерполирующих функций.
Предположим, что на систему с одной степенью свободы с демпфированием
(рис. 1.54) действует сила Q, изменяющаяся во времени некоторым
произвольным образом, аналогичным показанному на рис. 1.55. Эту
непрерывную функцию, описывающую возмущающую силу, можно приближенно
представить в виде набора ступенчатых функций с различными значениями в
различные моменты времени, как показано на рис. 1.55. Первое значение
ступенчатой функции равно AQ0 в момент времени t - 0, второе - AQ в
момент времени
118
Рис. 1.55
t = и т. д. В произвольный интервал времени tt_i < t < tt динамическое
поведение системы при воздействии возмущающей силы, представляемой
указанной ступенчатой функцией, можно описать выражением (ем. пример 3 из
п. 1.12)
i-o д
(1.75а)
В момент времени tt это перемещение
i-1
Xi = ~Y 2 Щ 11 - er-n{U-4) COS рл (ti - tj) + sin ря x
/-0
X(/* -/у)]}, (1.756;
что в случае отсутствия демпфирования дает
(-1
1
J3
х = - ^ AQj [1 - cosp(ti - tj)], (1.75в)
В данном методе величина AQt некоторой типичной степени может быть либо
положительной, либо отрицательной, что зависит от угла наклона
касательной к рассматриваемой кривой. Для получения достаточной точности
в рассматриваемом методе следует выбирать достаточно малые шаги и
самокомпенсирующиеся погрешности площади области, лежащей под графиком
функции, описывающей возмущающую силу. Речь идет о том, чтобы
заштрихованные площади на рис. 1.55, лежащие выше кривой, были примерно
равны незаштрихованным площадям, лежащим ниже кривой. Использование
такого приема означает, что каждый (после первого) шаг начинается в
момент времени, когда ордината кривой равна средней высоте ординат на
заданном шаге. Это можно видеть на рисунке. Разумеется, если функция,
описывающая силу, представляет импульс, действительно ограниченный
горизонтальной и вертикальными линиями, то метод приведет к точному
результату.
Другой метод состоит в использовании линий, параллельных осям координат
(рис. 1.56). В этом случае кривая аппроксимируется рядом импульсов
прямоугольной формы, различной величины и длительности. Для получения
достаточной точности величина Q* типичного импульса должна быть выбрана
такой, чтобы она равнялась ординате кривой в середине временного
интервала Л/г, как показано на рис. 1.56. В произвольный интервал времени
/г-1 < t < t-t реакцию системы с одной степенью свободы с демпфированием
можно вычислить, представив ее как сумму влияний начальных условий
119
Q
в момент времени t,_x и влияния импульса, действующего на интервале
времени Ath что дает
х = е-п(*~(1-1) cosрл(t - tui) + *i~1 SinРл^ ~~ ^
+ "Г" I1 ~ e~n{-t~ii-l) [cos/4^ - U-1) + pa(t -
[(1.76a)
В конце интервала это выражение принимает вид
xt = e~nAU [*;_!cosp^Ati 4- Xi~l +p"Xi~1"sinPxAti] + ~y-X
x[l -e~nb'h (zospyAti + -^-sinpnA4^j , (1.766)
что в случае отсутствия демпфирования дает
•*,i = *i-iCOspA/j + -^isinpA/i + -^--(l -cospAti). (1.76в)
Кроме того, можно найти скорость xt в конце интервала времени, которая,
будучи поделенной на частоту р, имеет вид
-у-= - XiSinpA^ + ^cospA^ + ^sinpA/;. (1.76г)
Выражения (1.76в) и (1.76г) представляют собой рекуррентные формулы для
определения динамического перемещения системы при
120
отсутствии демпфирования в конце i-ro шага и тем самым начальных условий
в начале шага (i + 1). Последовательно используя эти формулы, можно
проследить, как изменяются во времени перемещения и скорость системы с
одной степенью свободы, но больший интерес представляет перемещение *.
Полученные выше рекуррентные формулы (1.76в) и (1.76г) позволяют находить
перемещения в конце t'-ro интервала времени путем последовательных
вычислений. Другой подход заключается в определении перемещений (в момент
времени tt) при действии всех предыдущих импульсов прямоугольной формы.
Для случая колебаний без демпфирования данный подход основывается на
использовании следующей формулы:
С
Xi = х0 cos pti + sin pti -f -J- 2 Qj [cos p (f, - t}) -
/=i
- cos p (ti - /jj)]. (1.76д)
Поскольку в последнем слагаемом формулы (1.76д) необходимо производить
суммирование членов ряда, при использовании этой формулы требуется
выполнять большее число арифметических операций, чем по формулам (1.76в)
и (1.76г). Поэтому с целью облегчения проведения расчетов при определении
окончательного вида зависимости перемещений от времени предпочтительнее
использовать выражения (1.76в) и (1.76г). Однако, если требуется
определить только перемещения в конкретное время, то лучше выбрать
формулу (1.76д).
При использовании интерполяции кусочно-постоянного типа, описанной выше,
не всегда удобно делать равными погрешности площади областей, лежащих над
графиком функции возмущающей силы и под ним. Более грубым подходом
является выбор ординат кривой, относящихся к началу (или концу) интервала
