Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
алгебраических уравнений относительно неизвестных величин С*
и Dt.
361
Исключая эти постоянные из последних соотношений, получим частотное
уравнение
*L) - (с * _ .$5.*, * ).
(к)
Поскольку"/?, является общим множителем для обеих частей данного
соотношения, из этого следует, что р0 = 0 является частотой вращения
системы как абсолютно жесткого тела. Для удобства проведения расчетов при
отыскании частот форм колебаний введем обозначения
h = Pil/b\ Т]1 = рУ//1 = /0//1; т|2 = /0//2, (л)
где /0 = plnl - момент инерции вала относительно его собственной оси.
Используя обозначения (л), перепишем уравнение частот (к) в более простой
форме
или
Если |i, |а, ?з , .... •- ненулевые положительные корни (расположенные в
порядке возрастания)этого трансцендентного уравнения, то из выражения (ж)
и концевого условия (з) получаем соответствующие нормальные функции
Xi = Ci [cos (hxjl) - (?;/%) sin (?{*//)]. (5.58)
Предположим, что моменты инерции /х и /2 дисков малы по сравнению с
моментом инерции /0 вала. В этомхлучае параметры и т]2 будут иметь
большие значения, корнями уравнения (5.57) будут числа я, 2л, Зл, ...,
нормальные функции (5.58) примут вид, соответствующий валу с
незакрепленными концами [см. выражение (в) I. С другой стороны, если
величины 1г и /2 велики по сравнению с /0, то отношения т)а и ri2 будут
малыми величинами, поэтому в правой части уравнения (5.57) можно
пренебречь единицей по сравнению со слагаемым ^/(ть'Пз)- Тогда уравнение
частот|примет вид
li tglEj = ТЦ + Т)2- (м)
Это уравнение совпадает по формуле с уравнением (5.30), относящимся к
задаче о продольных колебаниях стержня. Для первой крутильной формы
колебаний все слагаемые, входящие в уравнение (м), будут малы. С учетом
этого можно упростить соотношение, если положить tg = I?. Тогда получим
rii -(- ri2 = /о (/1 + h)/hh'
Решив это уравнение, найдем частоту
n &5i _ . ^ l/" Ai(Л + Д) 1 /" ^п(Л + Д)
pi - ~ ту тт ~ У W*
362
и период колебаний основной формы
Tl 2л V GIп (i\ + /2) •
Эта формула совпадает с формулой (1.11), которая была получена в
пренебрежении массой вала и в предположении, что система имеет только
одну форму колебаний.
На основе подхода, описанного в п. 5.5, можно получить соотношения
ортогональности для вала с закрепленными на обоих концах дисками
i
p/u j XiXj dx + /iXioFio + 12ХНХЯ = 0 при i=/=j', (5.59)
о
i
GI" j X'iX'j dx = 0 при i Ф j\ (5.60)
0
GI" ^ j XiXj dx + XioXjo - X'uXj^ = 0 при i Ф j. (5.61)
Кроме того, если выбрать соотношение нормировки (при i = /)
в виде
1
р/" j х\ dx + hXl + hXb = р/п, (5.62)
0
можно получить
GI" ^ j XiXi dx + XtoXio - XhXt^j = -Gin j {X\f dx = -plnpj. (5.63)
Соотношения (5.59)-(5.63) аналогичны соотношениям (5.31)-(5.35), поэтому
следует только заменить т = pF на р/п и г = EF на GIn. Более того, в
выражениях, относящихся к рассматриваемой здесь задаче, имеются члены,
учитывающие диски, прикрепленные в валу в сечениях х = 0 и х = /.
Рассмотрим динамические угловые перемещения системы (см. рис. 5.9), если
начальные условия при t = 0 имеют вид 0О = /г (х) и 0О = /г (*)• Для
этого необходимо определить начальные перемещения /х (0), fi( I) и
начальные скорости /2 (0), /2 (/) дисков, установленных в сечениях х = 0
и х = I Тогда начальные условия для вала и дисков, представленные в виде
рядов, по функциям времени фог и функциям перемещения Xt имеют вид
оо оо
И ТогЛт = А (*); U ФоЛ = /2 (х); (н)
* = 1
оо оо
Jj VoiXio = fi (о); Е <PoiXio = h (0); (о)
t=l f=l
оо оо
Л ФоiXu = А (/); ? ФоЛг = /г (/)• (и)
t=l t'=l
363
Для того чтобы пронормировать эти выражения, умножим выражения (н) на
pInXj и проинтегрируем по длине вала. Затем умножим выражения (о) и (п)
соответственно на IгХ и 12ХЛ и сложим результаты с преобразованными
выражениями (н). В результате получим
оо / /
2 фог р/п j X;Xjdx + ДВДо + 1,ХпХл
i=l \ о
I
= ("/п j /1 (X) Xj dx + hh (0) X;o + I2h (I) Xn; (p)
0
00 / /
Фог I p/п j XfXjdx -f- RX!0Xjo -)- I2XilXjl
1=1 \ 0
1
= p/п J /2 " Xj dx + IJ2 (0) X;o + hh (0 Xn. (c)
0
Из соотношений ортогональности (5.59) и нормированности
(5.62)
видно, что при i =~ j соотношения (р) и (с)
приводят к следующим
представлениям для начальных перемещений и скоростей в нормальных
координатах:
/
Фог = J /г (*) Xt dx -}- -^-/1 (0) Xi0 -f -^-/1 (0 Хц\ (5.64)
о
/
Фог = j U (х) Xi dx + J-/a (0) Хго -f -i-/2 (/) Xtl. (5.65)
0
Эти выражения совпадают с (5.36) и (5.37) за исключением учитывающих
влияние обоих дисков слагаемых, присутствующих в (5.64) и (5.65). Имея
эти представления для фог и фог, можно исследовать динамическое поведение
рассматриваемой системы, используя выражение (5.25).
Если собственные функции нормируются в соответствии с выражением
(5.62), динамическое поведение показанной на рис. 5.9
системы можно исследовать, воспользовавшись выражениями (5.28) и (5.29).
К получаемому при этом перемещению следует прибавить перемещение как
абсолютно жесткого тела, которое определяется из уравнения
