Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
(")*=о = 0; г {и')х=1 = - М (й)х=1. (а)
Поскольку второе из этих условий включает движение сосредоточенной массы,
исследование данного случая несколько сложнее, чем когда рассматривается
только один стержень. Однако движение будет по-прежнему гармоническим,
поэтому здесь можно вновь взять для i-й формы колебаний следующее
выражение:
Ui = Xi (Ai COS p(t -)- Bt sin Pit)- (6)
Подставляя выражение (б) в концевые условия (а), получим
Хд> = 0; rXh^MpjXii, (в)
где индексы 0 и I обозначают соответственно точки х = 0 и х = I. Как и в
предыдущих случаях, нормальные функции имеют вид
Xt = С; cos (pix/a) -f Dt sin (ptx/a). (г)
Из первого концевого условия (в) следует, что Сг = 0, а из второго
получаем соотношение
rPi Pi1 .. , Pi1 , .
--cos-^- = Мр? sin-?-. (д)
a a r а 4 7
Это соотношение можно представить в более компактной форме
Et tg Е, = л, (5.30)
где | = Pillа\ г) = mllM - отношение массы стержня к сосредоточенной
массе.
Соотношение (5.30) представляет частотное уравнение для рассматриваемого
случая. Поскольку это уравнение является трансцендентным, круговую
частоту рг необходимо искать методом подбора. Наибольший интерес обычно
представляет основная форма колебаний, и поэтому ниже приводятся значения
параметра частоты первой формы колебаний, соответствующие различным
значениям отношения масс:
tj.................... 0,01 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 'Щ1,00 1,50
li 0,10 0,32 0,52 0,65 0,75 0,82 0,86 0,98
т| 2,00 3,00 4,00 5,00 10,0 20,0 100,0 оо
?,.................... 1,08 1,20 1,27 1,32 1,42 1,42 1,57 п/2
Если масса стержня мала по сравнению с прикрепленной массой, обе величины
т] и ^ малы, и тогда уравнение (5.30) можно упростить к виду tg ?! ж ?х,
откуда следует
Таким образом
и ~ а if EF
р1~ I V ~Ж - V ~МГ '
где EFII - параметр продольной жесткости стержня. Этот результат
совпадает с результатом, полученным при рассмотрении стержня и массы как
системы с одной степенью свободы. С другой стороны, если отношение масс
является большой величиной, уравнение частот принимает вид
tg (pti/а) = оо.
Из этого уравнения получаем следующие значения круговых частот:
Pi - ina/2l, i - 1, 3, 5, ..., 00,
которые совпадают с найденными в п. 5.2.
Для того чтобы записать соотношения ортогональности для
стержня с прикрепленной на конце массой, перепишем задачу на
собственные значения [см. уравнение (5.11)1 для двух различных форм с
номерами i и / колебаний:
rX'i = - тр}Х{; (е)
гХ) = - mp)Xj. (ж)
Умножая первое из этих соотношений на Xj, а второе - на Хг и интегрируя
по длине стержня, получим
i i
г j X"iXj dx = - тр\ j XiXj dx-, (з)
о о
i i
г j X'jXi dx = - тр) j XiXj dx. (и)
Массу, помещенную в точку х = /, также следует включить в рассматриваемые
соотношения ортогональности, и тогда второе концевое условие (в) для t-й
и /-й форм колебаний можно представить в виде
гХ'цХ,1 = Мр^ХцХр; (к)
rX'jiXn = Мр)ХцХц, (л)
где первое соотношение умножается на Хп, а второе - на Хн. Вычитание
соотношений (к) и (л) из равенств (з) и (и) приводит к следующим-
комбинированным соотношениям:
г j X"cXj dx - rX'uXji - - p) j X{Xj dx + МХцХ^ j; (m)
r j X)Xi dx - rX'jiXn = p) J XiXj dx + MXtlXn j. (h)
347
Интегрируя выражение, стоящее в левой части этих равенств, найдем
- rXhXjo ~ г J Х-Х'- dx - - р\ J ВДdx + MXuX,^j; (о)
- гХ}оХю - г j Х'сХ,- dx - - p) J X(X/ dx -f МХаХ^. (n)
Поскольку интегралы, стоящие в левых частях соотношений (о) и (п), равны
нулю, то, вычитая из (п) соотношение (о), получим
(pi - р)) j XiXjdx }- МХцХц) = 0. (p)
Когда i Ф j и, следовательно, pi Ф pf, из равенства (p) следует
соотношение ортогональности i
т j XtXj dx -j- МХцХц - 0 при i-ф]. (5.31)
0
Из соотношения (о), кроме того, следует
i
г j X'iX) dx - 0 при i - j, (5.32)
о
а из соотношения (м) получаем
1
г j X'iXj dx - гХ'цХр = 0 при i Ф j. (5.33)
о
Сравнивая эти соотношения с соответствующими им равенствами (5.12)-
(5.14), видим, что в соотношениях (5.31) и (5.33) присутствуют
дополнительные слагаемые.
При i = j второй сомножитель, стоящий в круглых скобках соотношения (р),
можно положить равным произвольной постоянной. Полагая эту постоянную
равной т, получим
i
т j XI dx -f- МХц = m при / = /. (5.34)
о
При нормировании собственных функций таким образом, чтобы они
удовлетворяли этому равенству, из соотношений (м) и (о) следует
i i
г J X'iXi dx - rX'uXu = - г J (X'if dx = - mp\ (5.35)
о 0
Для того чтобы исследовать неустановившееся поведение системы при
продольных перемещениях, обусловленное начальными условиями вида "0 = Д
(х) и "о = /2 (х) при t = 0, определим сначала начальные перемещения ног
= Д (/) и скорость йог = /2 (I) массы,
348
прикрепленной к стержню в точке х = I. Затем начальные условия для
стержня и массы представим в виде рядов по функциям времени <р( и
перемещения Х; [см. представления (5.17)]:
ОО оо
Z3 ФогХг = Д (X); ? фогХг = Д (х); (с)
1 = 1 t=1
оо оо
И ФогХг; = Д (/); Н ФоДг/ = Д (О- (т)
i=i i=i
Далее, соотношения (с) умножаем на тХ и интегрируем по длине стержня.
