Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
распределений и асимптотических распределений величин т](/)> a(t), 0О
можно применить теоремы § 21.
Общие процессы хранения
(i) Пусть начальное содержимое водохранилища определяется неотрицательной
случайной величиной ri(0). Обозначим через %(и) полное количество воды,
втекающей в водохранилище в интервале времени [0, и]. Пусть отток воды
осуществляется непрерывно с постоянной единичной скоростью, если
водохранилище непусто. Тогда &(и) = и и ?(") = %(") - и для 0. В этом
случае мы будем говорить о процессе хранения типа
№ = {т1(0); %(и), 0<"<оо).
Этот процесс хранения обладает точно такими же стохастическими
свойствами, что и процесс образования очереди W, введенный в § 27. При
этом т](^), содержимое водохранилища в момент /, соответствует времени
ожидания в момент t. Полное время a(t) в интервале (0, t), в течение
которого используется дополнительный источник (полное время, в течение
которого водохранилище пусто), соответствует полному времени бездействия
обслуживающего прибора в интервале времени (0, t). Момент времени 0О,
когда впервые требуется дополнительный источник воды, соответствует
длительности начального периода занятости.
Предположим, что {%("), 0 ^ оо} - процесс либо с переставляемыми
приращениями, либо, в частности, со стационарными независимыми
приращениями, а почти все его выборочные функции являются неубывающими
ступенчатыми функциями, обращающимися в нуль при " = 0. Тогда для
нахождения распределений и асимптотических распределений величин т](/), a
(t), 0О можно применить теоремы § 29.
Если предположить, что ?(") = " - % (и) для и ^ 0, где процесс {%("),
0^"<оо} определен выше, то теоремы § 29 также дают распределения и
асимптотические распределения величин г] (/), a (t), 0О.
В то время как в теории очередей процесс {%("), 0 <!"< оо} обычно
является простым скачкообразным процессом, имеющим с вероятностью 1
только конечное число скачков в конечных интервалах, для процессов
хранения {%("), 0^"<оо} может иметь с вероятностью 1 бесконечное число
скачков в любом конечном интервале.
146
Гл. 6. Процессы хранения и создания запасов
Замечание. Пусть {%* (и), 0 ^ и < оо} - двойственный -процесс для
определенного выше процесса {%("), 0*^"<оо}. Рассмотрим процесс хранения
^* = h(0); х(и), 0<"<оо}.
Он обладает точно такими же стохастическими свойствами, что и
двойственный процесс образования очереди, введенный в § 27. Случайные
величины а*(/) и 0* для W* соответствуют случайным величинам сф) и 0О для
процесса W. Тогда распределения величин а*(/) и 0' можно найти с помощью
теорем 8-11 § 29.
(п) Можно получить более общие типы процесса {rj(0, 0^t< оо}, если
рассмотреть следующую эквивалентную интерпретацию процесса {?("),
0^"<оо}. Пусть процесс (?(ц), 0*^"<оо} описывает флуктуации уровня
водохранилища, когда уровень изменяется в интервале (- оо, оо). Тогда
ri(0) + ?(/) есть уровень водохранилища в момент t. Предположим, что
дополнительный источник воды используется, если это необходимо, для того,
чтобы уровень никогда не опускался ниже нулевой отметки. Тогда ri(0 -
уровень (содержимое) водохранилища в момент t.
Пусть начальное содержимое водохранилища определяется неотрицательной
случайной величиной ц (0). Пусть {? (и), 0 ^ и < оо} - сепарабельный
случайный процесс либо с переставляемыми приращениями, либо со
стационарными независимыми приращениями и Р{?(0) = 0}=1. Тогда в силу (1)
P{ti(/)<*|ti(0) = c} = P{ sup ?(ы)0 и ?(*)<*-с}, (13)
о <"<'
в силу (2)
Р {а(/)>х - с\ ti(0 = с)} = 1 - Р{ sup ?*(u)s^x} (14)
для 0^с<х</ + с, а в силу (3)
Р{0о<Пт1(О) = с}=1 - Р{ sup Г(ы)<с} (15)
при с > 0, где ?*(")=-?(").
Пусть {?("), 0 ^ и < оо} - сепарабельный случайный процесс со
стационарными независимыми приращениями, почти все выборочные функции
которого не имеют отрицательных скачков и обращаются в нуль при и - 0.
Тогда для нахождения распределений и асимптотических распределений
величин ti(/), а(/), 0О можно применить теоремы § 24.
Если же {?(м), 0 ^ и < оо} - сепарабельный случайный процесс со
стационарными независимыми приращениями, почти все выборочные функции
которого не имеют положительных скачков и обращаются в нуль при и = 0, то
для нахождения распределений и асимптотических распределений величин
ti(/), а(/), 0О можно также применить теоремы § 24, заменив в них ?(и) на
?*(") = - ?(").
§ 33. Водохранилище конечной емкости
147
В самом общем случае, когда {?("), 0 <1 и < оо} - произвольный
сепарабельный случайный процесс со стационарными независимыми
приращениями, можно использовать методы, описанные в § 25.
§ 33. ФЛУКТУАЦИИ СОДЕРЖИМОГО ВОДОХРАНИЛИЩА КОНЕЧНОЙ ЕМКОСТИ
Рассмотрим теперь следующую математическую модель конечных водохранилищ.
Вода втекает в водохранилище (резервуар) в интервале времени (0, оо).
Обозначим через %{и) полное количество воды, втекающей в водохранилище в
интервале времени (0, и]. Емкость водохранилища равна конечному
положительному числу т. При переполнении водохранилища избыток воды
