Комбинаторные методы в теории случайных процессов - Такач Л.
Скачать (прямая ссылка):
бора ?0 Равно i~^\. Найти вероятность (х) того, что начальный период за*
нятости состоит из п обслуживаний и его длительность не превосходит х.
3. В условиях задачи 1 предположим, что начальная длина очереди г) (0)
равна с>0. Найти вероятность Gn(x\c) того, что начальный период занятости
состоит из п обслуживаний и его длительность на превосходит х.
4. В условиях задачи 1 обозначим через G (х) вероятность того, что
длительность периода занятости (отличного от начального) не превосходит
х. Найти моменты функции G (х).
5. В условиях задачи 1 пусть т) (t) - виртуальное время ожидания в мо*
мент t. Найти стационарное распределение величины т] (t) и его моменты.
6. В условиях задачи 1 обозначим через ?п длину очереди непосредственно
перед поступлением "-го требования. Найти стационарное распределение
вели* чины \п и его моменты.
7. В условиях задачи 1 обозначим через ? (t) длину очереди в момент /.
Найти стационарное распределение величины | (t).
8. В условиях задачи 1 предположим, что начальное время занятости при*
бора т] (0) равно с. Пусть т] (t) - виртуальное время ожидания в момент
t. Найти
9. В условиях задачи 1 предположим, что требования обслуживаются в по*
рядке поступления. Пусть т)" - время ожидания "-го требования. Найти пре*
дельное распределение величины г\п при " ->• оо.
10. В интервале времени [О.Г] в очередь поступают " требований. Моменты
поступления являются взаимно независимыми случайными величинами, равно*
мерно распределенными на [0, Г]. Требования обслуживает один прибор.
Времена обслуживания - взаимно независимые и одинаково распределенные
случайные величины с функцией распределения Р (хг ^ х} = Н (х). Они не
зависят от моментов поступления требований. Прибор занят, если в системе
есть хотя
§ 30. ЗАДАЧИ
Р (Т) (0 < * I Ч (0) = с).
Литература
137
бы одно требование. Найти распределение виртуального времени ожидания ц
(/) в момент t (0 ^ t ^ Т),
11. В интервале времени [0, оо] требования поступают в моменты Тд, т[,
хг, где т0 = 0, а промежутки тг - тг_1, г- 1, 2, между моментами
поступления требований являются взаимно независимыми одинаково
распределенными положительными случайными величинами с функцией
распределения Р {х'г - т^_[ х] = F (х). Требования обслуживаются
единственным при-
т, - / / /
бором. Времена обслуживания Хц Хг tr ~взаимно независимые и одинаково
распределенные случайные величины с функцией распределения Я (х) = == 1 -
е~^х (х ^ 0). Они не зависят от моментов поступления требований. Прибор
занят, если в системе есть хотя бы одно требование. Длина очереди
непосредственно перед моментом и = 0 равна нулю. Найтн вероятность того,
что начальный период занятости прибора состоит из п обслуживаний, а также
вероятность того,' что длительность начального периода занятости не
превосходит х.
12. Пусть в условиях задачи 11 длина очереди ?0 непосредственно перед
моментом и = 0 равна г. Найти вероятность того, что длительность
начального периода занятости прибора не превосходит х.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Bailey N. Т. J., A continuous time treatment of a simple queue using
generating functions, J. Roy. Statist. Soc., Ser. B, 16 (1954), 288-291.
[2] Bailey N. T. J., Some further results in the non-equilibrium
theory of a
simple queue, J. Roy. Statist. Soc., Ser. B, 19 (1957), 326-333.
[3] В e n e s V. E., On queues with Poisson arrivals, Ann. Math.
Statist., 28
(1957), 670-677.
[4] Benes V. E., General stochastic processes in traffic systems with one
server, Bell System Tech. J., 39 (1960), 127-160.
[5] Benes V. E., Combinatory methods and stochastic Kolmogorov equations
in the theory of queues with one server, Trans. Amer. Math. Soc., 94
(1960), 282-294.
f6] В e n e s V. E., Weakly Markov queues, Transactions of the Second
Praque Conference on Information Theory, Statistical Decision Functions,
Random Processes, Praque, 1960, pp. 9-25.
[7] Benes V. E., General Stochastic Processes in the Theory of Queues,
Mass., 1963.
[8] В h a t U. N., Customer overflow in queues with finite waiting space,
Austral J. Statist., 7 (1965), 15-19.
[9] Borel Ё., Sur Pemploi du theoreme de Bernoulli pour faciliter le
calcul d'un infinite de coefficients. Application au probleme de
l'attente a un quichet, Compt. Rend. Acad. Sci. Paris, 214 (1942), 452-
456.
[10] Brockmeyer E., Hal strom H. L., Jensen A., The life and works of A
K. Erlang, Trans. Danish Acad. Tech. Sci., 2 (1948), 1-277.
[11] Ch a m p e r n о w n e D. G., An elementary method of solution of
the queueing problem with a single server and constant parameters, I.
Roy. Statist. Soc., Ser. B, 18 (1956), 125-128.
[12] Clarke A. B., A waiting line process of Markov type, Ann. Math.
Statist., 27 (1956), 452-459.
[13] Conolly B. W., The busy period in relation to the queueing process
GI/M/1, Biometrika, 46 (1959), 246-251.
[14] Cox D. R., The analysis of non-Markovian stochastic processes by the
inclusion of supplementary variables, Proc. Cambridge Phil. Soc., 51
