Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Представим теперь М(х, X) в виде
М(х, X)=M(d)(x, X)+M(nd>(x, X), (5.9)
где Af<d/ и A4(nd) означают, соответственно, диагональную и анти-
диагональную части матрицы М, и подставим это разложение в (5.5). Отделяя
в получившемся равенстве диагональную и ан-тидиагональную части с учетом
(5.6), приходим к системе
196 гл. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
уравнений
dMw rr, ,.л .,(nd)
dx
= [U0(x),M'ra>], (5.10)
= A. [ as, M(nd)J + [ U0 (x), M(d> ]. (5.11)
dx 2t
Выразим матрицу M(d)(x, X) через Mtnd)(x, X) по уравнению
(5.10), записав формально
(х,Х) =d-' ([[;"(•), М^ (. ,Х) ]) (х) + а" (5.12)
и подставим это выражение в (5.11). В результате для матрицы M{ad) (х, X)
получаем интегро-дифференциальное уравнение
+ iXo,M{nd) - [U0 (х), d'1 ([U0, M(nd)]) (x)] = 2U0 (x) a3. (5.13)
dx
При выводе мы учли, что диагональная матрица о3 антнкомму-тирует с
антидиагональными матрицами M{nd) (х, X) и U0(x).
Введем оператор Л, действующий в пространстве антидиаго-нальных матриц
F(х) по формуле
AF (х) = (х) - [ U0 (х), сГ1 ([U0 (•), F (•) ]) (х) ] j. (5.14)
С его помощью мы можем переписать уравнение (5.13) в следующем компактном
виде:
(Л-Х)М(пй)(х, Х)=-2Ш0(х). (5.15)
Решая его формально, имеем
М(пй)(х, Х)=-2i(A-X)~lU0(x). (5.16)
Раскладывая (Л-^,)-1 в геометрическую прогрессию, для коэффициентов M{nd'
(х) получаем явное выражение
Minnd)(x) = 2iAn-1U0(x), (5.17)
так что
Mlf} (х) = ЛМ<Д> (*), л>1, (5.18)
и
M[nd)(x) = 2iU0(x). (5.19)
Матрицы M{d\x) находятся по M"d)(x) по формуле (5.12):
М${х) = d-1 ([ U0 (-), МГ' (•) ]) (х). (5.20)
В силу свойства (5.18) оператор Л в литературе иногда на-
зывают рекурсионным оператором. Мы будем использовать более
выразительное, хотя и жаргонное, название А-оператор.
§ 5. Л-ОПЕРАТОР И ИЕРАРХИЯ ПУАССОНОВЫХ СТРУКТУР 197
В проведенных выкладках не был однозначно определен оператор взятия
первообразной d~l. Однако мы заранее знаем, в силу соотношения (5.10),
что этот оператор применяется к матрицам, являющимися полными
производными по х. Матрицы М\id)(x), от которых берется эта производная,
имеют вид
МА) (х) = fn (х) о3, (5.21)
где /п(х) -периодическая функция, являющаяся полиномом по ф(х), ф(х) и их
производным в точке х без свободного члена. Оператор d~1 по определению и
дает последнюю матрицу.
В частности, оператор d~l согласован со следующими граничными условиями
для матриц М(й) (х, X) и М(па) (х, X), рассматриваемых как функционалы от
ф(х), ф(х):
M,nd) (хД) | = 0, МА) (хД) | = а3. (5.22)
'¦ф=г|)=о ф-ij>-о
Свободный член а3 в формуле (5.12) определяется этими условиями.
На первый взгляд иаше определение является тавтологией. Однако
содержательный результат состоит в том, что при вычислении Afnd'(x) по
формулам (5.18) - (5.19) выражение [Н0(х), Vf?d,(x)] каждый раз
оказывается полной пррнзводной. Альтернативно можно сказать, что
выражение AnU0(x) корректно определено при всех п^О.
Используем теперь найденное представление для Af|ntl) (х, X) для
окончательного вычисления матрицы М(х, X). Переписывая
(5.12) в виде
Mw(x,X)=o-2id-l([U0, (\-X)~lU'])(x), (5.23)
получаем явное выражение матрицы М(х, X) в терминах А-опе-ратора:
М(х, X)=o3-2i(A-X)-lU0(x)-2id-l([U", (А-Х)~Ч!В]) (х).
(5.24)
В качестве первого следствия полученных результатов приведем обещанную
компактную запись высших уравнений НШ. Из представления нулевой кривизны
dU ^ Х) ^ (хД) + [ U (х, X), Vn (х, X) ] = 0 (5.25)
dt ох
и формул (5.4), (5.6) получаем, что п-е уравнение НШ, представляющее
собой постоянный по X член в (5.25), записывается в виде
igg ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
Используя формулы (5.17) и (5.20), перепишем полученное равенство в виде
Esl + _ [Ц d-i ((у01 Л'-Ч!)] = (5-27>
at дх
Отсюда с учетом определения (5.14) получаем искомое выражение для ti-г о
уравнения НШ:
= io3An~1U0 (х). (5.28)
Сравним запись уравнения движения (5.28) с его гамильтоновой записью
= U0(x)}. (5.29)
of
Явный вид матрицы в правой части дается формулой
</". и, (*)) = i /X ( ili- о.) . (5.30)
Определим теперь матрицу grad/"(x) следующим образом:
grad 1п (х) = {- S-п - о+-j-4^- o_j . (5.31)
F x I бф(А') бф(.г) j
Ниже мы объясним, почему такое обозначение естественно с гамильтоновой
точки зрения. Уравнение движения в форме (5.29) переписывается в виде
-Ад = ('к03 grad (5.32)
dt
Сравнивая (5.28) и (5.32), получаем компактное выражение для градиентов
локальных интегралов движения
grad 1п (х) = -ЛяД0 (х), (5.33)
У.
или рекуррентное соотношение
grad /"(х) - A grad (х), п>1, (5.34)
гОс
grad /Дх) = - U0(x). (5.35)
X
Покажем, что при помощи A-оператора можно дать выражение и для самих
локальных интегралов движения /". Для этого
вместо их производящей функции pL(X) = arccos ^-у- trTL (X) Q (0) j
удобно использовать ее производную по X. Покажем, что имеет
§ 5. Л-ОПЕРАТОР И ИЕРАРХИЯ ПУАССОНОВЫХ СТРУКТУР
199
место формула
L
= - 1 j tr М (х, X) o./lx. (5.36)
-L
Будем исходить из основного представления для матрицы монодромии
'4_ч г
