Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда видно, что матричные элементы матрицы монодромии также не являются
допустимыми функционалами.
Продолжая доказательство допустимости FL(X), умножим полученные равенства
справа на матрицу Q(0) и возьмем след. Используя элементарные формулы
Q(0)a+Q-49)=ei9a+,
Q(0)a_Q-1(0)=e-iea_, получаем требуемые условия квазипериодичности:
(2.12)
(2.13)
6Fl (a) I (2.14)
64 (z) z=L 64 (z) z=-L
6Fl (a) = e-^> . (2.15)
64 (z) Z=L 64 (z) 1z=-L
Для производных ПО Z
d 6 FlVl)
d 6 FL(k)
аналогичные формулы:
d 6flQ-)
dz 64 (z) d
dz 64 (z)
dz 64 (z) dz (5,|- (Z)
z=L dZ 64 (z)
. d 6F, (X)
- 8 _ L
Z=L dz 64 (z)
справедливы
(2.16)
(2.17)
Для их вывода следует использовать справедливые при y<C.z<.x равенства
_д_ 6Г (дг, у, X) dz
64 (z)
д 6Т (х, у, X)
dz
64 (z)
¦¦YxT(x, г, X) [a_, U (z, X)] T (z, у, X), (2.18) -Y*T(x,
z,X)[o+,U(z,X)]T(z,y, X), (2.19)
182 гл. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
которые вытекают из формул (1.31), (1.39) и (2.6) - (2.7), и повторить
предыдущие рассуждения с учетом условия квазипериодичности
U (L, Я) = Q-1 (0) U (-L, Я) Q (0). (2.20)
Условия (2.14) - (2.17) вместе с гладкостью функций
6Fl (7)
64 (г)
6Fl (а)
--------- при -L<iz<iL позволяют продолжить эти функции на
бф (г)
всю вещественную ось -oo<2<°o гладким квазипериодиче-ским образом:
бF, (л) . бF, (к) бF, (к) бF, (к)
1 -_____= е"8 ... ^ ,___________ LL:__________- e-?9 _Д_Щ_ . (2.21)
6ф (г 4- 2L) бф(г) ' 6ф(г + 2Я) бф(г)
При этом для бесконечно дифференцируемых функций ip(z), ф(г)
бFl (к) бFl (к)
вариационные производные ,-------------------- также являются бес-
64 (г) бф (г)
конечно дифференцируемыми квазипериодическими функциями: на всей оси.
И наконец заметим, что функционал FL(k) является вещественно-
аналитическим. Его разложение в ряд типа (1.1.7) получается из
соответствующего разложения для функционала tr Т(х, у, k)Q(Q) предельным
переходом при у^>-L. Это
завершает доказательство допустимости функционала FL(k).
Покажем теперь, что интегралы движения, порожденные FL(k), находятся в
инволюции-.
И(Я), ЕДр)} = 0. (2.22)
Для этого воспользуемся соотношением (1.20)
{Т (х, у, к) (r) Т (х, у, р)} = [г (к - р), Т (х, у, к) (r) Т (х, у, р)],
(2.23)
у
где -L<.y<x<.L, и умножим его справа на матрицу Q(0)<g> <8>Q (0).
Элементарное свойство
ИЯ), Q(r)Q] = 0 (2.24)
показывает, что соотношение (2.22) остается справедливым и при замене
Т(х,у,к) и Т(х, у, р) на T(x,y,k)Q(Q) и Т(х, у, р) X XQ(0). Возьмем
теперь от получившегося равенства матричный след в С2 (r) С2 и
воспользуемся свойством
tr(Acg).6) - trA ДгБ, (2.25)
где tr справа означает след в С2. Поскольку след от коммутатора исчезает,
получаем соотношение
{tr Т(х, у, Я) Q(0), tr Т(х, у, р) Q(0)} =0. (2.26)
§ 2. ИНВОЛЮТИВНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ
183
В нем можно перейти к пределу при х-<-L, у->-L; в результате получаем
равенство (2.22).
Итак, мы доказали инволютивность интегралов движения рассматриваемой
модели. Равенство (2.1) следует из формулы
(2.22) с помощью разложения
№(у = -)Х+1 + х2 7 + °(!АП' <2-27)
"=1 ^
где
pL (%) = arccos j Fl (К) (2.28)
(см. § 1.4).
С каждым локальным интегралом /" на многообразии JiL[9 ассоциируется
гамильтонов поток
^={/",ф}, = {/",*}. (2.29)
(Jt ot
Потоки, получающиеся при п= 1, 2, имеют простую физическую
интерпретацию (см. § 1.1); при я = 3 получаем уравнение НШ.
Соответствующие уравнения движения (особенно при п>3) принято называть
высшими нелинейными уравнениями Шредингера (высшими уравнениями НШ).
Замечательным обстоятельством является тот факт, что, помимо тривиальных
первых двух потоков, имеется также бесконечный набор коммутирующих
потоков. Можно сказать, что в этом проявляется "скрытая симметрия" модели
НШ.
Во избежание недоразумения отметим, что инволютивные функционалы из
семейства tr7'(x, у, 7*)Q, где, очевидно, матрица Q может быть
произвольной, не имеют отношения к рассматриваемой модели. Во-первых, они
не имеют гладких вариационных производных и поэтому являются
недопустимыми функционалами. Но даже если мы и согласимся расширить класс
допустимых наблюдаемых, функционалы tr Т(х, у, K)Q не находятся в
инволюции с интегралами /" и не помогают интегрируемости модели НШ.
Существование бесконечного количества инволютивных интегралов движения
указывает на возможность полной интегрируемости нашей модели. В случае
фазового пространства конечной размерности 2п имеется теорема Лиувилля -
Арнольда, утверждающая, что гамильтонова система является вполне
интегрируемой, если она обладает набором из п (половина размерности
фазового пространства) интегралов движения в инволюции. При этом само
фазовое пространство расслаивается на подмногообразия размерности п,
движение вдоль которых линейно.
184
ГЛ. 111. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
В нашем случае фазовое пространство бесконечномерно и ситуация с
интегрируемостью не столь проста ввиду отсутствия аналога теоремы
Лиувилля - Арнольда. Рассуждая наивно,, можно, конечно, утверждать, что
