Гамильтонов подход в теории солитонов - Тахтаджян Л.А.
Скачать (прямая ссылка):
матрицы. Для совместности фундаментальных скобок Пуассона (1.18) со
свойством антисимметрии (1.6) и тождеством Якоби (1.8) достаточно,
соответственно, выполнения соотношений
r(-k)=-Pr(k)P (1.40)
и
[/"12(>--р), ri3(k) +Г=3(р) ] + [г13(Я,), г23(р) ] =0. (1.41)
Матрица r(k) из (1.19) очевидно удовлетворяет этим равенствам. Обратно,
при выполнении условий (1.40) - (1.41) равенство (1. 18) задает
пуассонову структуру на пространстве функционалов от матричных, элементов
матрицы U(х, к). В части II мы дадим способ построения других решений
уравнений (1.40) -
(1.41) и покажем, что с каждым из них можно связать интегрируемую
гамильтонову систему.
2. Приведенные выше два способа вывода соотношения (1.20) из
фундаментальных скобок Пуассона носили совершенно общий характер и не
зависели от конкретного вида матриц U (х, к) и г(к). Именно, мы показали,
что если матрица U (х, к) удовлетворяет соотношению (1.18) с некоторой
матрицей г (к), то для скобок Пуассона матричных элементов матрицы
перехода Т(х, у, к) выполняется равенство (1.20). При этом локальная
формула (1.18) является инфинитезимальным вариантом <1.20).
" 2. ННВОЛЮТИВНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ ПЦ'
3. В правых частях формул (1.18) и (2.20) имеется кажущаяся сингулярность
при Я = 0 вследствие того, что знаменатель в (1.19) исчезает при Я = р.
Однако, благодаря свойству (1.10) матрица Р коммутирует как с матрицей
U(х, Я) (r)/ + /0f/(x, Я), так и с матрицей Т(х, у, к)(r)Т(х, у, Я), так что
и числитель в формулах (1.18), (1.20) исчезает при Я = р и сингулярность
не возникает ("правило Лопиталя").
4. При -L<x<p<L из равенства (1.20) следует, что
{Т {х, у, Я) (r) Т (х, у, р)} = -[г (Я - р), Т (х, у, Я) (r) Т (х, у, р)],
(1.42) так как (см. § 1.3)
Т(у, х, Я) = Т-1 (х, у, Я). (1.43)
5. Соотношение (1.20) можно обобщить и на матрицы перехода, отвечающие
двум произвольным интервалам (у, х) и: {у', х'), содержащимся в (-L, L).
Заметим для этого, что, вследствие ультралокальности, скобки Пуассона
матричных элементов матриц Т(х, у, Я) и Т(х', у', р) исчезают для
непересекаю-шихся интервалов {у, х) и {у', х'), так же как и для
интервалов, имеющих только одну общую точку. Поэтому из свойства
суперпозиции (1.3.7), свойства дифференцирования и (1.20) получаем, что
(Г (х, у, Я) (r) Т (х', у', р)} = (Т (х, х", Я) (r) Т (х\ х", р)) х "
X [ Л (Я - р), Т (х", у", Я) (r) Т (X", у", р) 1 (Г {у", У, Я) (r) Т (у", у',
р))"
(1.44)>
где (у", х") - пересечение интервалов {у, х) и {у', х').
§ 2. Инволютивность интегралов движения в квазипериодическом случае
В качестве первого применения полученных в предыдущем параграфе формул
докажем, что построенные в § 1.4 локальные интегралы движения /"
находятся в инволюции:
{/п, Л"}=0. (2.1)
Но прежде всего мы должны убедиться, что /" являются допустимыми
функционалами на фазовом пространстве JlL,<s (см. § 1.1). Мы покажем, что
допустимым является производящий Функционал FL(k), введенный в § 1.2:
Fb(k) =tr TL(k)Q(6). (2.2)'
Будем исходить из квазипериодических граничных условий'
ф(х+2L) =eierp(x), ф(х+2L) =ц-,вф(х) (2.3)"
180 ГЛ. III. ГАМИЛЬТОНОВА ФОРМУЛИРОВКА
и фиксированной фундаментальной области -L^ix^L. Рассмотрим матрицу
перехода Т(х, у, к) при -L<iy<.x<.L. Как отмечалось в § 1, ее матричные
элементы являются финитными функционалами. Возможность их представления в
виде рядов по ф(.г), ф(2) типа (1.1.7) следует из того, что матрица
перехода удовлетворяет вольтерровскому уравнению (1.3.26):
X
Т (х, у, к) =Е (х - у,к) + §Т (х, г, к) и0 (г) ? (г - у, к) dz, (2.4)
У
где E(z, к) =ехр • Итерации для него абсолютно сходятся
и дают искомые ряды для матричных элементов матрицы
Т(х, у, к).
" бТ(х, у, X)
Вычислим теперь вариационные производные----------------------,
бгр (г)
6Т (х, у, X) ^ для ЭТ0Г0 воспользуемся формулой (1.35) и поло-6ф (г)
жим в ней
бU(z, к) =Ух(бф(2)а+ + бф(г)а_). (2.5)
В результате при y<.z<.x мы получим выражения
67 (х' у' = /й Т (х, г, к) а_Т (г, у, к) (2.6)
бф (г)
и
JiyEh^L=YxT(x,z,k)a+T(z,y,k). (2.7)
6ф (г)
При 2 из фундаментальной области вне интервала (у, х) эти вариационные
производные исчезают.
Таким образом, вычисленные вариационные производные являются разрывными
функциями. Поэтому матричные элементы матрицы Т(х, у, к) нельзя считать
допустимыми функционалами в смысле § 1.1.
Для доказательства допустимости функционала FL{k) перейдем в формулах
(2.6) - (2.7) к пределу при х-<-L, у-> L и рас-
6TL (X) 6TL (X)
смотрим вариационные производные ---------------, -=------- матрицы
бф (г) 6ф (г)
монодромии TL(k) =T(L, -L, к). Из (2.6) - (2.7) следует, что эти
вариационные производные как функции 2 являются гладкими в интервале -
L<2<L. Переходя к пределу при z^L-4)
2. ИНВОЛЮТИВНОСТЬ ИНТЕГРАЛОВ ДВИЖЕНИЯ
181
И Z-
-L + 0, получаем формулы б TL{X)
64 (z)
6TL (I)
z=L
64' (z) 6TL (A)
64 (z) 6 TL (a)
\rxojrL (X), = V"x ст+7Д (Я)
z=L
= V^t(4a.,
z=-L
64 (z)
= /х7Д(?.)ст+.
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
z=-L
