Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Di) 1 (D\ - Dl) (-/соз -f- Dl) 1 =
= (zcoi -|- Di) 1 (i'co 1 -|- Di -|- ZCO2 -j- низ - D3) (-г'со3 -f- D3)
=
= (-коз -f- D3) 1 - (zcoi Di) 1 Ш2 (ttoi -(- Di) 1 (-/соз -J- D3) .
Поэтому (29) принимает вид
^(123) {-Ргз [(iw2) ' (и 123 - П(r)2з)] =
= ¦-Р(123) |Di3 [(ztoi -f- Di) 1 R3 (-/соз -(- D3) 1 /^1^123/^2] 1 К ~г P
(123) (^2) 1 -Pi3 ([(itoi j- Di) 1 Рз~~Рз(-*tt>3 h D3) *] R\) sl23R2.
(22.30)
При сложении выражений (28) и (30) происходит сокращение членов, имеющих
множитель (/и;)'1. Сумма Р(т) (Piз •••) есть не что иное, как сумма Р123
... по всем перестановкам индексов 1, 2, 3. В результате из формулы (21)
получаем
Р2(ВЬ Ва, В3) =
= (2л) 1/12 [Р(123) [(iCOi -|- Dl) 1 f 123 (- Ш>2 "Ь D2) 1 R2 (-i<?>3 -f-
D3) R3 -f-~Г е1е2ез( iWl Dj) 1 /123 (С°2 "h В)i) 1 /?2 (zt'j'l -Ь D3) 1
/?з] -
- P123 [(t(r)i -f- Di) 1R1S123R2 (-tto3 D3) 17?з]) 6 (oil -f- to2 -f-
Ш3). (22.31)
Нетрудно записать формулу во временном представлении, соответствующую
формуле (31), взятой в спектральном представлении. Эта формула, как легко
проверить, имеет вид
|32 (Въ В2, В3) =
= -Р(123) [^J Уа,|3 (^lo)/|3v6 (У (to2)R)ya:, (У (tos) R)6а, dto +
~Г J (^20) R)a2y (V (fao) R)a.36 8-1>еб/|Зт68|Уфо (И (^0l) R)за, dto] ~
- Р123 [(У (tl2) R)a,р 5|ЗтбГта2 (У (?2з) ^?)ба3]- (22.32)
Вследствие условия УаР (t) = 0 при КО в первом интегральном члене
интегрирование ведется от tm = max (t2, t3) до tx, а во втором - от t1 до
min (t2, t3). Покажем, как можно вычислить входящие в (32) интегралы.
Обозначим
ti
Fl23 = j Уа,р (tio) fуаг (to2) Уба3 (^Оз) dto =
Используя (7), имеем
¦^123 - J ехР ( D\t\n) f\2'i exp ( D2t02 - D3t33) dta =
ty
= | exp (D\tai - D2to2 - 7?з^оз) Ло/ыз-
Производя интегрирование, получаем
E123 = [exp (-D2ti2 - Пз^з) - exp (-D\t\m - D2tm2 - Пз^гз)] X
X (D\ - D2 - D3) 1 /12З)
т. e.
F123 - ^123^2 (^12) Уз (?1з) Vi (tim) tTl 123У2 (^mi) Va {tm3j,
(22.34)
если обозначить m123 = (Dx - D\ - DTS) /123. Эта матрица есть не что
иное, как решение линейной системы уравнений
(D\ - Dl - D3) ГП\23 = /l23,
т. е. da0tn0^y tnaaydaр tna^0d0y = (^2.35)
Функция (34) отлична от нуля только в том случае, если tx больше как t2,
так и t3. Если ввести функцию Н123 = E123ri (t23), которая в силу (34)
равна
^123= ^123^1 (^12) ^з (4з) Л (4з) - У у (Ч2) tn123V 3 (/2з), (22.36)
то она будет отлична от нуля только в области tx ^ t2 ^ t3. При помощи
функции (36) формула (32) записывается так:
Р2(Бь В2, Вз) = Р123 \[На1уб{и, t2, f3)+
~h ?а1Ч-а2?'а3Нaiy&( t\, t2, ^3)] Гуа2Г&а31
-^i33[(V,№2)^)a.pSpvervai(V(fe3)^)ta,], (22.37)
где Р12з теперь обозначает сумму по всем перестановкам индексов 1, 2, 3,
содержащую шесть членов. Если в (37) положить t1 > > t% > t3> то
учитывая, что функции
(У (^12)T?)aipSpv6rvaj (У (^2з)Т?)аа3,
как и (36), отличны от нуля лишь при tx ^ t2 ^ t3, получаем
|У(Я", (ti), ваг{к), Ва.л т =
= [На,у6 (^1> t2, fe) ^6а3 Ч" еа1еа26а3Т/а37б(-^3, t2, il)^6at
- Усцр (Ч2) /¦ рр^руаУва (^2з) Га"3] ^va2• (22.38)
Систему линейных уравнений (35), служащую для определения входящей в (34)
матрицы mapv> можно решать, в частности, приводя матрицу da$ к
диагональному виду. Заметим, что формула (38)
8* 227
может быть получена при помощи кинетического уравнения, описывающего
данный марковский процесс В (t).
3. Другой подход к задаче определения двойных и тройных корреляторов.
Импедансный метод. Вместо описанного выше метода определения
корреляторов, основанного на предварительном вычислении адмитансов, может
быть применен другой метод, который приводит к результату более коротким
путем. Перейдем к его рассмотрению.
Сделаем замену переменных: введем величины А'а (являющиеся функциями от
А), определяемые требованием, чтобы производная по А'а от свободной
энергии F' (А') = F (А (Л')) равнялась Аа:
3F' (А')/дАа = Аа. (22.39)
Производя в (39) дифференцирование по правилу дифференцирования сложной
функции, получаем
<22-40)
В однокомпонентном случае это уравнение легко разрешить относительно
dAJdA\з = дА[!дА[ и найти dAJdAi = A\l dFldAь Подставляя сюда
однокомпонентный вариант формулы (2), будем иметь
dA\!dAi = ril -f- V2^i11Лi*
Интегрируя это выражение, находим Л1 (Л1) = гп Л1 -{- 1/iSmA2.
Многокомпонентное обобщение этой формулы таково:
Аа (Л) = ГарЛр -)- V^SafiyAfiAy (^2.41)
Разрешая это уравнение относительно Л, имеем (А ) = гРа (Аа -
l/iSay6rург6оАрА0) О ((Л )3).
Следовательно,
дА^дА'а = /-ра - l/2rflaS0y6rypr6aAp =
= Гра - lkr$0s0ybAyrba + О (Л2). (22.42)
Подставляя (42) и (2) в (40), нетрудно убедиться в том, что равенство
(40) выполняется. Тем самым многокомпонентная формула (41) в рамках
выбранного приближения подтверждается.
Найдем производную от А'а по времени. В силу (41) имеем
Ла = (гар -f- VaSapv^v) ^р- (22.42а)
Подставим сюда равенство (1), где х нужно выразить через Л: ха - dF
(Аа)1дАа = /"йрЛр 1/25ар7ЛрЛ7.
Учитывая обозначения (5) и (13), получаем Аа = (гa(J -1" 1/з5ар7Л7) (-
dfipAp -f- V2/роаЛрЛа) =
~ " Гa&dfipAp -f- Va (/"ар/рра ¦SaPp^po) ^4рАа. (22.43)
