Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
формулу (18.77), а также (64) и (80), получаем
P^i2,34 = (2л) 1 {Р12 [(ttt>i -(- Dj) ^ /1234 (-ш2D2) 1R2 X
x (-гсо3 -(- B3) 1R3 (-гсо4 -|- DR) 1 T?4] -(- (jcoi -f- DR) 1 T?4 x
Л Л Л Л /N /N
X (г'со2 -(- DR) 1 T?2?i23i (-й°з ^3) 1 R3 (-i(c)4 -|- DR) 1 T?4 -
- lllP 12^1234 - V.3P 12 (^1342 4" ^143г) -
- V<,P34;V 1234! 6 (coi j- o)2 -- co3 - j co4). (22.88)
Приведем временной вариант, соответствующий формуле (88). При этом
ограничимся выражением для упорядоченных моментов времени:
РР12, 34 = H1234R2RZR4 +
+ H'xmRiRi - V2P1 {UR) P1B2S1234P3 (Сз) Р3Р4 ih\) Ri - - V3P1 (Сз)
^1^351234^2 (С12) Р2Р4 (С4) Rt -
VePi (Сз) ^1^2 (h:i) RiSii'.uRsV4 (/34) P4 (22.89)
при С > t2, t3 > f4. Первые члены в правой части определяются
формулами (86).
Перейдем к производной от тройного коррелятора
б {В\, В2, В3)/бЯ4|й=0 = Р123,4 = Р1(214 + Р.(22и.
Согласно вторым равенствам (18.76) и (18.77) имеем
у _________1 vP)
Y 123, 4 I 123. 4 p Г 123, 4
= (kTf (Yl Ш + P(123)P.. 234) + kTP023)Y[l] 34.
237.
Поэтому, используя (64) и (80), получаем 62К 123, 4 " (2я)-1 \Р(123)
(l?0i + Di)"1/:i234 (-1102 + Дг)-1 /?2 X
X (-ко3 -j- D3) 1 Rs (-tco4 -j- D4) 1 /?4 -j-
-|-?1826384 (-tco4-j-D4) 1/4i23 (,ы1 Ч- Al) 1 Ri (ibh^Dz) 1 R2 (io)34-
D3) 1/?з+ + A(123) (*(r)i + D\Y17?i (uo2 + A?)"1 R2Q1234 (-Й03 + ПзГ1 /?з X
X ( ICO4 Di)~l Ri - 113Р\23^ 1234 - lkP(\23)N1423 -
- V2^(123)^1234 - l/eR(123)^1243j 6 (fflj + • • • +(04). (22.90)
Следовательно, во временном представлении для области > > t2Y> t3 имеем
р2^7123, 4 = fiatknv (^l, h, ^3, ^4) ^А.аг^ца3^а, "Н
"Ь еа, '• Saflo.iknv ( 4, ^1, ^2, -^з) fka^ixa^vas ~Ь
"Ь Hthdiiiv (^1, ^2> ^3) ti) Tfxa^va,
- V2-^41234 - V3M1423 - Х1гМ\ш - 1/n^4l243- (22-91)
Итак, все четырехиндексные функции выражены через диссипа-ционно-
определяемую матрицу /a3Vft и диссипационно-неопределяе-мую матрицу
<7apV6- Чтобы найти последнюю в конкретных случаях, следует построить
теоретическую модель флуктуационно-диссипа-ционного процесса или
прибегнуть к частичному экспериментальному исследованию поведения одной
из функций (85), (89), (91) или соответствующих спектральных функций.
Уменьшению числа диссипационно-неопределяемых параметров помогает
использование симметрии, свойственной той или иной системе, если эта
симметрия имеется. Кроме того, число диссипационно-неопределяемых
параметров существенно уменьшается в том случае, когда число
диссипативных членов, входящих в феноменологическое уравнение,
значительно меньше числа компонент вектора параметров. Примеры описанных
уменьшений будут приведены ниже.
§ 23. Примеры расчета многовременных корреляторов
или спектральных плотностей, а также
их производных по внешним силам
1. Цепь с нелинейной индуктивностью и нелинейным сопротивлением.
Рассмотрим для примера простую цепь (рис. 23.1), состоящую из
индуктивности и нелинейного сопротивления, аналогичную той, которая была
рассмотрена в п. 13.2, но теперь индуктивность будем считать нелинейной.
Пусть ее энергия как функция от тока имеет вид
W (/) = 72L/2 + Ves/3. (23.1)
238
При А, = / эта формула для данного примера является конкретизацией
формулы (22.2). Применяя (22.41), равенством
р = LI + 1lisP (23.2)
вводим новую переменную А[ = р - "импульс", заменяющий /. Теперь
справедлива формула
dW (/ (p))/dp = /
(см. (22.39)), и производная р - dp/dt имеет смысл э. д. с. на
индуктивности. Пусть в рассматриваемой цепи последовательно действует
внешняя (сторонняя) э. д. с. ft. За- ---------------------------Р------
писываем равенство I I
p + V(I) = R, (23.3) Р X j; №
выражающее баланс напряжений. (~)
Здесь V (/) - напряжение на не- Рис 2з i
линейном сопротивлении, которое
выражается формулой (13.10). ПoдcтaвляяJ (13.10) в (3), получаем
уравнение
р RI = ft, (23.4)
являющееся конкретизацией уравнения (22.45). Если в (4) подставить (2),
то получим уравнение (22.46). Сравнивая (1) с (22.2), найдем, что в
данном примере матрицы га$ и sapv имеют вид
rn = ML, sin = s. (23.5)
Далее, сравнение (4) с (22.45) дает
r]\du=R, rnfu\ -- 5цДц = -а,
т. е. в данном случае
dn = R/L = у, fin - (sR/L - a)/L. (23.6)
Найденные значения (5) и (6) можно подставить в однокомпонентный вариант
формулы (22.31), т. е. (поскольку в данном случае е4 = -1) в формулу
P2</i, /2, /з) =
= (2я) 1/2 (Я(12з) [(i(r)i + d\\) ! /ш (--ш2 + ^п) 1 (-гсоз -)- du) 1 ги -
- (-го)1 --(- du) 1 /ш (га>2 + ^п) 1 (г(r)з + ^и) 1 гп] -
- ^123 [(i(r)i -f- du) si 11 (-гсозДс^п) 1 ^п]} 6 (coi -)- 0)2 -f- (r)з).
(23.7)
Это дает тройной коррелятор в спектральной форме. Кроме того, используя
(22.38), (22.36), (22.35), можно получить коррелятор во временной форме
Р2 (Л, /s. /з> = -^ехр (-¦у/") [ехр (-ytn) - ехр (-¦у/а,)] -
--p-exp (-yfu)
239
при tx > t2 > t3. Здесь тш = -fujd = a/R - s/L. Далее, применяя формулу
(22.55), нетрудно получить
6</ (dl), / (<о2)) _
6h (со3)
= kT (2л)-1/2 [Р12 (1щ + v)-i (-гю2 + у)-1 (-t(c)3 + у)-!] -
- (i">i Ь Y)-1 ("о2 + у)'1 ( - ш" + у)"1 -
rf)Nr 12 (2 (t'wi + У) 1 (-1С0з ~Т у) 1 +
