Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(Д.118)
Это равенство получил Мори в 1965 г. [37]. Функции Ва (t) трактуются как
случайные ланжевеновские силы, действующие на переменные Ва. Их среднее
значение равно нулю:
(Fa № = ~ ехр (- QLi) QL (Ва (0)) = 0,
поскольку предполагается, что все равновесные средние (Ва) равны нулю.
3. Линейное ФДС первого рода. Вводя функцию U (*1. 4) = dap& (h - L -
0) + (Fa (Q - l2) Bv (0)) (BB)yp!! (k - t2)
(Д.119)
(2r) (t) = 1 + sign т), равенству (118) можно придать вид
5а(0= t2)Bp(t2)dt2 + Fa(l). . (Д.120)
Данную формулу следует сравнивать с равенством
Ва(0= ~ |Фа,Р(/ь 4)*p(4)d/2+Ba(/), (Д-121)
т. е. с равенством (15.57), взятом в линейном приближении. Они отличаются
только заменой переменных х (В). В линейном приближении связь х с В
проста: = нарВр (см. (19.9)), где "аР =
- d2F (В)1дВадВр при В = 0. В линейном приближении формула (2.41) имеет
вид
w(B) = const-exp (-F (B)/kT) = const-exp [- (2kT)~'uapBaBp],
Отсюда вытекает, что (BaBp) = kTuap, и, следовательно, указанную связь
можно записать в виде
ха = кТ(ВВУ4Вр. (Д-122)
Подставляя (122) в (121) и сравнивая с (120), находим
кТФа< У (tl, t2) (ВВ)ур - /ар (^1, t2),
455
т. е. в силу (119), (109)
№ Фа, р (L; t2) =
= ([LBe (0)] Вр (0)) б (/12 - 0) + (Fa (/12) Fp (0))"! (/12). (Д. 123)
Если \Fa (/)} является стационарным процессом в смысле выполнения условия
(Fa (t + a) Fp (f -|- а)) = (Fa (t) Fp (/')) (Д. 124)
при произвольном а (это доказывается ниже), то входящее в (123) среднее
(В" (tl2) Fp (0)) совпадает с (Ва (t±) Fp (/.,)). При этом из (123) можно
получить формулу
Фар(Ю t2) = (Fa (L) Fp (/2)) = /гТФаз p (L; t2)
при tl -t2> e (e -малая положительная величина).
Чтобы доказать ФДС (15.44), справедливое при любых Q - t2, образуем сумму
тФа,р(Ю -Фр.а^; h)] =
= \((LBa (0)] Вр (0)) + ([LBp (0)] Ва (0))} б (*12) +
~1_ (Fa (t\) Fр (4)) I1! (^12) 4(^21)]¦ (Д-125)
Здесь использовано (123) и (124); различие между функциями б {tu -0) и б
(t2l -0) в данном равенстве стало несущественным, вместо них взято б
(^12). Перемещая оператор L от Ва (0) к Вр (0) (подобная операция была
проведена в (114)), легко проверить, что тензор ([LBa (0) ] Вр (0))
является антисимметричным, так что сумма в фигурных скобках в (125)
обращается в нуль. Поскольку й ^12) + 11 (tn) = 1 и (Fa (fj Вр (t2)) =
ФаВ (tlt t2), из (125) получаем искомое ФДС Ф12 = kT (Фх 2 + Ф2 1) (см.
(15.44), а также (19.20) при П = 0).
4. Доказательство стационарности флуктуационных воздействий Fa (t)•
Рассмотрим коррелятор (Fa (L) Вр (t2)). Согласно (112) имеем
(Fa (U) Fp (t2)) = ([ехр (- QLt,) Fa (0)] Bp (t2)). (Д. 126)
Правую часть этого равенства можно преобразовать так:
([ехр ( - QLi1) QFa (0)] Fp(t2)) =
ее j dz [exp (- QLt) QFa (2, 0)] pp (z) Fp (z, t2) =
= \dzFa (0) {QT [exp (- QLtQY ppBB &)} =
= J dz Fa (0) \QT exp (LQTt1) ppBp (f2)} или, если разложить экспоненту в
ряд,
([ехр (- QLL) Fa (0)] Вр (t2)) =
/00 л
= J dz Fa (0) ? iL (Q'LY QTPpBp (f2) I . (Д. 127)
456
Рассмотрим, как действует оператор QT = 1 - Рт на произведение функций рр
(г) Fр (г, t2). Согласно (106) оператор Рт имеет матричные элементы
(Р%г- = (PU = Рр (г) Вр (г) (ВВ)$ В6 (г').
Видим, что он обладает свойством
(Рт)гг'Рр (г') = Рр (г) (P)zz' И, следовательно, (QTWpP (г') = = рр (г)
Qzz-. Поскольку Врр = 0, из последнего равенства нетрудно также получить
(QT?)zz'Pp (z') = Pp (г) (О.Цгг-Отсюда легко вывести формулу [(QTB)"bz'
Рр (г') = Рр (г) [(<2В)'!]гг-аналогичного типа. Она приводит к равенству
°° tH
J] -1- (QTL)n QT РрВр (t2) = рр [ехр (QLh) Вв (*а)]
гс=0
(QFр (t2) = Вр (/2)). Следовательно, из (126) и (127) имеем
(Fa (h) Вр (4)) = (Ва (0) [ехр {QLt,) (*,)]).
Для того чтобы отсюда получить окончательную формулу
(Ва(УВр(^2)) = (Ва(0)ВрМ,
остается лишь учесть (112). Тем самым условие стационарности (124)
доказано. Это завершает доказательство ФДС (15.44).
5. Доказательство соотношения взаимности для Ф1;2. Данное соотношение
является следствием инвариантности гамильтониана относительно замены (q,
р) -* (q,-р) (иначе, г -> гг), соответствующей обращению времени. Ранее
указывалось, что эта инвариантность имеет вид Ж (ег) = Ж (г). С ним
связана инвариантность равновесного распределения:
Рр (ez) = Рр (г). (Д. 128)
Из этого условия вытекает, в частности, соотношение
ваер(Ва(г, 0) Вр (г, 0)) = (Ва(г, 0)Вв(г, 0)), (Д. 129)
которое легко доказать, используя равенство
гаВа (г, 0) = Ва (гг, 0) (Д. 130)
и делая замену переменной интегрирования гг = г в интеграле усреднения.
Нетрудно доказать инвариантность
Ргг,гг- = Ргг- (Д. 131)
оператора проектирования Pzz- = Вр (г, 0) (BB)piBa (г', 0) рр (г). Для
этого достаточно учесть равенство (130), формулу (129) и (128).
Перейдем теперь к оператору Лиувилля. Учитывая его явный вид, нетрудно
убедиться, что он обладает таким свойством:
7-ez, ez' - -'Lzz' (Д-132)
457
После сделанных замечаний перейдем к доказательству соотношения
взаимности, которое будем вести в два этапа.
а) Сначала докажем равенство
еаер (№ (0)] Ва (0)) = ([LBa (0)] Вр (0)). (Д. 133)
