Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Ра = Р - Рх = О - Р) ехр [Е (t - /о)] Ро
(Д.51)
р2 = (1 - Д)Еехр[Е(^ - д]р0 = (1 - Д)Е(рх + р2).
Запишем это уравнение в виде
р2-(1 -?)Ера = (1 -Я)Ерх
(Д-52)
440
и будем его трактовать как уравнение относительно неизвестной функции р2
(t) при известной pi (t). Интегрируя уравнение (52) при начальном условии
[ра]/=/.=(1 -?)ро = 0, будем иметь
p2(z, t) = j ехр [(1 -~'P)L(t - *')] (1 - P)Lp1(z, t')df. (Д.53)
to
Подставляя (53) в (50), находим
t
w = fiL Pl + j exp [(1 - P) L(t - t')] (1 - P) LPl (г, t')dt']. (Д.54)
Если подставить сюда равенство pi = Tl~wt, которое служило определением
р1, получим окончательно
t
wt = TlLfi~wt + ПЕ j dt' exp [(1 -P) f(*-/')](! -Р)ЪП^.
(Д-55)
Это и есть искомое уравнение для плотности распределения произвольного
процесса. Видим, что в отличие от (19) в него дополнительно входит
интеграл по времени. Впервые это уравнение получил Цван-циг [78].
Если входящие в (55) операторы П, П_ записать при помощи (4) и (12), то
будем иметь
wt (Л) = j J 6 (А - В (z))Lpp (z) 6 (А'-В (г)) dz ¦ < (Л') wv (Л') dA' +
t
+ j dt' f j 6(Л -B(z))Z(l - A)exp[(l - P) L (t - t')] x
to
x Pp (z) (1 - P) L6 (A' - В (z)) dz Wp1 (A') wr (A') dA'. (Д.56)
Здесь перед экспонентой дополнительно поставлен оператор 1 - Р. Это можно
сделать, поскольку он, как и Р, является идемпотентным: (1 -Р)2, - 1 - Р.
Принимая во внимание вид оператора Лиувилля (6), нетрудно проверить, что
справедливо равенство
Lb (А - В (z)) = - - JL- [8 (Л - В (z)) (LBa (z))]. (Д. 57)
Благодаря ему входящую в (56) комбинацию можно записать так:
(1 -Р)ЩА-В(г))= -^Xa(z, А), (Д.58)
где
х0 (z, Л) = (1 - Р) [6 (Л - в (z)) (Lb* (z))].
441
Учитывая (57), (58), приводим (56) к виду
wt (А) = - (/Сое (A) wt] +
+ А''
где
Ка (Л) = - j (LB (2)) Рр (2) б (А - В (2)) dz wp1 (А) = (и (2, 0))А,
?)аР(Л, A', t-t') =
= jxa(z, А) ехр [(1 -P)L(i-njpp(z)Xp(z, A')dz.
Заметим, что к подобной форме обобщенного уравнения Фоккера - Планка, но
без интеграла по t' можно привести и марковское уравнение (19).
Из вывода уравнения Цванцига (59) видно, что оно является точным и
справедливо для любых систем. В реальных случаях, однако, функции (A, A',
t -f) заметно отличны от нуля только при t-t' порядка характерных времен
тхар большой системы. При t - t' > тхар эти функции исчезают, поэтому
точное значение t0 в (55), (59) становится несущественным, если i - t0 >
тхар. В частности, можно положить t0 = -оо.
7. Один способ использования большого параметра при выводе марковского
уравнения. Если применять уравнения (55), (59) к мар-ковскоподобному
процессу, то следует иметь в виду, что функции (А, А', t - f) существенно
отличны от нуля лишь при t - f ~ ~ т0 ^ тр, a Wf на интервалах t - t0 ~
тс еще не успевает измениться. Это обстоятельство позволяет получить из
(55), (59) при t - ~ тс марковское уравнение, поменяв Wf на wt. При
этом вы-
ражение для марковского оператора примет еще один вид:
в дополнение к (20) и (21) (Q = 1 - Р).
Приведем более подробное обоснование перехода к марковскому процессу.
Предположим, что параметры Ва (г) представляют собой динамические
переменные Qj, Pj подсистемы S, которая взаимодействует с термостатом,
имеющим температуру Т. Пусть полный оператор Лиувилля состоит из трех
частей:
где L3 соответствует функция Гамильтона (Q, Р) подсистемы S,
L1 описывает эволюцию термостата при фиксированных Q, Р, а Ь2 описывает
взаимодействие подсистемы с термостатом. Предполагаем
М =ПЬ 1 -j j ds ехр (QLs) QL П = ITLexp (QLrc) П'
о
L - Li L2 "Ь Ls,
(Д. 60)
442
также, что переменные Q, Р являются марковскоподобными вследствие того,
что операторы Ьъ Ь2 подходящим образом зависят от большого параметра у.
Именно, положим
U = y2L'u L2 = yL2, (Д.61)
где L[, Ь2 уже не зависят от у. Вследствие первого равенства (61) время
изменения переменных термостата имеет порядок у-2, так что т" = а/у2, где
а не зависит от у. Отсюда вытекает, что неравенство тр то обусловлено
большой величиной у и что тс = (трт0)1'12 = = b/у (Ь = (тра)'/'2 не
зависит от у). Обычно выполняются равенства
TIL'i = 0, Lin- = О, ГЩГГ = 0 (Д.62)
и, следовательно, PL\ = О, РЬ2П~ - 0 и т. п. Подставляя (60), (61) в
уравнение (55), где положено t -10 = тс, при учете (62) будем иметь
wt = TlL3U~wt + П (уЦ + Ц) х
t
X f dt' ехр [(y2Li -f yQL2 + (t - f)] (yL'2 + QLz)U~wt'
t-bly
(Q = 1 - P). Вводя новую переменную интегрирования s = у2 (i - - t'),
отсюда находим
wt = YlL3U~wt + П (Д> + y-1L3) X
by
x j ds exp [{Li + y~]QL2 + y"2QL3) s] (L2 + y_1QZ.3) ГГ Wt-slyt.
(Д.63)
Учитывая большое значение у (или переходя к пределу у -> оо), получаем
марковское кинетическое уравнение
ОО
wt = UUTTwt + ПЬ'2 J dsexp (L[s) L'2YTwt. (Д.64)
о
Как видим, оно явно не зависит от у, но это не означает, что зависимость
от у полностью выпала, т. е. что его члены не зависят от у неявно. В
самом деле, в силу (И), (3) в выражении П ... ГГ имеется интеграл
усреднения по переменным термостата г' с весом
РР (z)/wp (Q> Р) = Рр (z'\Q, Р). (Д-65)
