Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
быть достаточно
большим, чтобы при любых фиксированных Ках ... ап(у) можно было
удовлетворить равенствам (5).
2. Уравнение со стохастическим выражением в симметризованном смысле.
Недостатком уравнения (1), рассматриваемого в смысле Ито, является то,
что с вхо-
470
дящими в него выражениями типа а (у) ? (/) при различных выкладках нельзя
обращаться по обычным правилам, пригодным для гладких функций. Это
обстоятельство весьма неудобно с практической точки зрения. Обычные
правила преобразований при выкладках можно применять к стохастическому
уравнению
У a =ga(y) + 2 (П7.7)
S
записанному в симметризованном смысле. При этом уравнение (7) понимается
гак: сначала мы записываем его для 66-коррелированной аппроксимации
процессов (t), а затем в этом уравнении переходим к пределу е-у О, что
дает уравнение для дельта-коррелированных процессов (t).
Чтобы найти, как коэффициенты Ка а (у) выражаются через функции
8а(У)< 8а^(У)> входящие в (7), следует сначала вычислить разность у- \у]
(П7.8)
Обозначим
V0 = Уа (О-Уа
{Уа = Уя(*о))- Далее1 обозначая правую часть (7) через хО(г/ (t), t), где
х- формальный малый параметр, из (7) для разности (8) получаем выражения
t t оо
1 dmG
¦(J", 0[А(01"
(t) - х j" G (у (t'), t') dt' ~ x J" dt'
ta t0 01=0
Подставляя сюда разложение Да {t) = ^х'Д^Д^и приравнивая члены различ-
i=i
ных порядков по х, получаем различные приближения:
д<:> (о = j м'оа (У\ а д<2) щ = j dt о д<" (о,
V (0 = \ dt
' dGa
5t/(3
+-г|л'^(^ 04Г"'К><0,...
^0
Используя эти формулы и принимая во внимание, как xG выражается через
(у), при учете Д*1* и Д(2) находим
t
Уа (о - yl = да (<) = 2 (Л J V(s) (О )-
s . Г"
+ 2 (Л 4° ^°) J (<') j dW) + • • • (П7.9)
Si/' / о ^0
Имеющие порядок (t - t0)2 и меньшие члены, обусловленные функцией ga (t)
и не влияющие на окончательный результат, здесь опущены.
Будем в (8), (9) полагать t0 = t-ц. Тогда разность (8), (9) совпадает с
уа - [ya.\-\i- Учитывая (9), а также разложение
' dgis) (У) л , 1 ¦ дУ" (у) '
и + дУ$ Др + - -Ц ду$дуу
Vv
471
приведем уравнение (7) к виду
, (У) +
1и) (0 +
j(s)
дур
ДО
5(s) (t) J dt'^n (Г)
t-|Х
+2
srq
Б
wiLmLm
дур дуу
I I
^ i(s) (о J dt'i<г> (О j* dtYq) (t") +
dVs)
ду$ дуу
srq
В (10), как и в (3), значения у в правой части берутся в более ранние
моменты времени t - р, нежели ?, поэтому 5 и у можно считать
статистически независимыми друг от друга. Используя эту независимость,
нетрудно найти коэффициенты Kai... ап в выбранном приближении. При этом
следует учитывать, что вследствие симметрии корреляторов (§(s)^i), ...,
&s)(tn)} по П. • ••> tn (см- (4)), как для точной, так и для
аппроксимационной дельта-функции, должны выполняться равенства
I
б (tlt t2, . . ., tn) dt2 ... dtn = (n!) x,
если константы D1^ считать равными единице. Для приближения (10) получаем
формулы
1 dga'' (у)
2 / I
ка(у)
,(у)
+ ¦
4s * (У)
дур
dg(aS) dgg> дур дуу
ДО
^м№')+0(Км)>
кар (у) =
8(as) (y)g{ps)(y) +
s
У, {^4' + °(Ч(tm)). <пт.н)
2 ^ дуу
S
Кару (У) = 2 (У) 4*' (У) 4S) (У) + 0 (КРУ0Р).
s
Можно получить и более точные равенства.
В отличие от (5) в (11) появились дополнительные члены. Если коэффициенты
Ксц... ап(1/)малыи прогрессивно уменьшаются, как это имеет место в случае
собственных шумов в физических системах (когда Ка1... ап(у) ~ (^Т)"),
указанные поправочные члены невелики. В первом приближении их можно не
учитывать, т. е. не различать, в каком из указанных двух смыслов
понимается стохастическое уравнение. При более точном рассмотрении
разницу нужно учитывать.
472
Приложение 8. Вывод равенства (25.42)
1. Тождество для функций Ф (plt ..., рт). Функции (25.38) для
краткости обозначаем через Ф)...гп- Справедливо тождество
т
h Ф4 (А+1) <к-1) е*Р l~iAP (Pi +P2-I----^4-.)] = РФ1 ...("-I,-
4 = 1
(П8.1)
если pi + р2 + ... + рт = 0.
Доказательство. В силу (25.38) имеем Ф4 ... т \2 ... (4-1) -
3 }'k }тГ1 "Ат НГ2 j т \
= j dkk j dkh+1 ... j dkm j dk, . . . j dkk_j exp -ih kjpj
.
00 об 0 V /=i /
Изменяя порядок интегрирования, это равенство можно записать так:
Ф4 ... т12 ... (/г-1) ~
3 3 3 3 }'т ^й-2 / т \
~ J dkm J dkm_ 1 J dkm_2 ... J* dkfo J* dk1 ... j dkfr_ 1 exp
I ih kjpj I .
0 km Xm-1 *ft+i 0 5 \ /==* '
(П8.2)
I 4-1 \
Умножим (2) на exp -ih$ Pj и обозначим к. + {3 = к', при у = 1, ..., k -
1.
После этого левая часть равенства (1), которую мы обозначим через Z,
запишется так:
т 3 3 3 Р+?т К
[ dkm J dkm_ j ... J dkk J dk\ J dkr2 x .. .
4-1 6 im }.h+1 3 3
^4-2 / 4-1 m \
• • ¦ X J dk'h_, exp - ifi ^ k'ipi - ifi ^ kjPj . (П8.3)
3 V /=1 /=4 /
Используя равенство p± + ... + pm = 0, выражение в экспоненте можно
записать в виде
k-\ т
-т Ц (я; - ят) Р/ - "'й 2 (я, - ят) р;.
/=1 /=4
Вводя новые переменные интегрирования Ну ~ Я'. - Ят при у 6- 1, Н/= = Я,-
- Ят при т > у ^ k, из (3) будем иметь
Z =
о
где
1-"
j ЛтК, (П8.4)
Р~*т
[ Фт-2 • • J Фй
^ft+i Р
ц
У = ^ | фт-л J Фт-а • • • J Фй J Фг |
фгХ • ¦ *
k=\ 0
т
473
,lk-2 / m-1
