Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
оператор М, передающий обусловленную диссипацией необратимость процессов
А (t), удовлетворяет другому условию обратимости. Оно соответствует не
инвариантности процессов, а инвариантности многовременных стационарных
распределений при обращении времени. Выведем его.
Подставляя (13) в (21), имеем
М = ПL ехр (Ltc) ррЕГдо^Г1. (Д-28)
Подействуем на обе части этого равенства операцией е-сопряжения.
Поскольку она обладает свойством дистрибутивности, получим
(Ме) = (П)в (L)e (ехр (?тс))е (рр)е (Пт)8 (ш-")е.
Нетрудно проверить, скажем, разлагая экспоненту в ряд, что справедливо
равенство
(ехр (Lrc))e = ехр [(Г)Е тс].
Используя его и учитывая (27), будем иметь
(М)в = - (П)8 L ехр (-Ltc) (рр)Е (П% (w~%. (Д.29)
Далее в силу (4) находим
(П)еА,е2 = 6(еЛ - В (гг)).
Последняя функция равна б (еЛ- гВ (г)), ибо В (гг) = гВ (г).
Следовательно,
(П)е = П.
Равновесное распределение рр (г) выражается через гамильтониан (г).
Поэтому из (24) вытекает равенство рр (гг) = рр (г). Это означает, что
(рр (z))E = рр (z). Наконец, из (10) имеем
wp (еЛ) = (П)Е рр (ег) = Прр (г),
так что wp (гВ) = wp (В) и (дар1^ = г^р1- Благодаря приведенным
соотношениям равенство (29) приводится к виду
(М)& = -ПL ехр (-Ltc) ррГТш^1.
Производя в обеих частях этого равенства транспонирование, получим
(M)l = Wp1 Прр ехр (Ltc) Шт.
Здесь использовано легко проверяемое свойство U = -L опера8 тора (6).
Оператор L коммутирует с рр. В самом деле, равенство Lpp - - ppL = 0 есть
не что иное, как другой способ записи уравнения
(9). Используя эту коммутативность, полученную формулу можно записать
так:
(М)1 = ехр (Гтс) ррПт.
434
Вследствие (28) отсюда получаем
(М)1 = a>plMwp. (Д.2§а)
Это и есть искомое условие инвариантности распределений. Естественно, оно
совпадает с равенством (6.21), выведенным в § б чисто марковскими
методами. Здесь оно получено другим методом для марковскоподобных
динамических процессов.
4. Приведение кинетического оператора к форме обобщенного оператора
Фоккера - Планка. Оператор (20) или (21) можно привести к различным
конкретным формам. Выведем одну из таких форм. Используя (4), (12),
запишем оператор (21) подробнее:
{М)АА. = J 6 (А-В (z)) [L ехр (?тс) рр (z) б (А' - В (г))] dz w~x (А').
(Д. 30)
Меняя порядок сомножителей под знаком интеграла и относя оператор L к
другому сомножителю, что связано с его транспонированием, из (30) можно
получить
(М)АА, = { б (А'-В (z))p"(z) [(-L) ехр (-Гтс)б(A-В (z))]dzwvA (А').
(Д.31)
Здесь использовано указанное ранее свойство U = -L. Рассмотрим выражение
-L ехр (-Lt) б (Л - В (z)) = -Д- [ехр (-Lt) б (А - В (z))]. (Д.32)
При любых функциях f, Fu ..., Fn справедливо равенство ехр (-Lt) f (Fx
(z), .. ., Fn (z)) =
= f (exp (-Lt) Fx (z), . . ., exp (-Lt) Fn (z)). (Д.ЗЗ) Пользуясь им,
приводим (32) к виду
-L ехр (-Lt) б (А - В (z)) = -Д-б (А - ехр (-Lt) В (z)).
Дифференцирование в правой части проводим по правилу дифференцирования
сложной функции: сначала производим дифференцирование по аргументу
функции б или, что то же самое, по Л, а затем дифференцируем аргумент по
т. Это дает
-L ехр (-Lt) б (А - В (z)) -
= {в (А - ехр (-1т) В (z)) [ехр (-It) LB (г)]) =
= ~ Цехр (-Гт)[б(Л - В (2))]] [ехр (-Lt) LB (z)]|. (Д.34)
435
Это равенство можно записать н так;'
~L ехр (-Zt) 6 (А-В (г)) ~~^{8(А - В (2)) [ехр (-Lt) LB (*)]} - д ( Г
/ еХр (-?,т) б (Л - (z)) [ехр (-Lt)LB(z)]],
ЭЛ 1 | L
(Д. 35)
Учитывая данное равенство, приводим (31) к Виду
(М)АА> = - A J б (А'-В (г)) рр (г) б (Л-В (г)) у (г, тс) dz w~{ (А1) -
-J б (Л' - S (z)) рр (г) у (г, тс
X
X
^гШрЧл'). (Д.36)
Здесь обозначено у (г, т) - -L ехр (-Lt) В (z) = d [ехр (-Lt) х X В (г)
Шт. Поскольку во втором члене в правой части стоит выражение - L ехр (-
Lt) б (Л - В (г)), к нему можно снова применить преобразование (34) или
(35).
Используя (34), выражение, стоящее в правой части (36) в квадратных
скобках, приводим к виду
ZT1 [ехр (Ltc) - Г] - Jj- {[ехр (- Ltc) б (Л -В (z))] (ехр (-Ltc)LB (z))}
или, если использовать (33),
{ZT1 [ехр (Ltc) - Т] ехр (-Ltc) [б (Л - В (z)) (LB (г))]} =
= -gj" {В'1 (Т - ехр (-Ltc)) [б (Л - В (г)) и (г, 0)]}.
Поэтому равенство (36) принимает вид д
X
(М)АА. = -^|-|б(Л-В (г)) уа (z, тс) рр (г) б (Л' - В (z)) dz X w~x (Л') +
j б (Л' - В (г)) рр (z) va (г, тс) х
X {L~l (1 - ехр (-Гтс)) [б (Л - В (г)) (г, 0)]} dzwp1 (А1).
Данным матричным элементам оператора М соответствует форма кинетического
уравнения (19)
"М)=- + тп&й [jлх-гхм-].
(Д.37)
где
Ка (Л) = J б (Л - В (z)) Va (г, Тс) рр (z) dz W^1 (Л),
Dafi(A, Л') = J б (Л - B(z))up(z, 0) \L~l [ехр (Ltc) - 1] х
X [Уа (z, Тс) рр(г)б(Л' - B(z))]} dzw~l (А').
436
Здесь во втором Интеграле изменен порядок следования оПераторой, Этот
интеграл короче можно записать так:
Уравнение (37) имеет вид обобщенного уравнения Фоккера - План* ка. Оно
отличается от последнего присутствием интеграла по Л' во Втором члене.
Если бы Dap (А, А') имело вид D'aр (А) б (Л - - А'), то уравнение (37)
