Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
пункта в (75), будем иметь
& 2 (gf > g2, gl) = T2 [02 (c)3 (UJJ3^l,2S -UiUi, 23) +
-f- 0^0з (U1UJJ2,13 - Д2Д2,13) + (c)(''(c)г' 12 -U3U3, 12)] -
- TTo i(c)3 (To) ?/з[(r)2 UJJ\, 23+ (r)fU\U2, 13+ (gl(c)2 + g2(c)l)/?3 '^3, 12] +
+ Дг [02 (To) 03 (Д3Д1, 23 + P1P2 U2, 13) +
+ (c)2~ (To) Qt (U\Us, 12 + P3P2 '^2,13)] + + (c)f" (Tn)Ui [(c)3 UJJ2, 13 +
&2U2U3, 12 + (/?2(c)3 + Рз(r)2) P\ U\, 23] 1 + + To [(c)2 (To)(c)3 (To) U2UJJ1,
23 + (c)I*" (To) (c)3 (To) U\U3U2, 13 \-
+ et (To) (c)2~ (To) Д1Д2Д3.12]. (34.77)
Те операторы 0f, у которых T0 не выписано, соответствуют температуре Т.
Для контроля в (77) можно положить Т0 = Т. При этом, используя (66),
легко проверить, что все члены в правой части сокращаются. Так это и
должно быть, поскольку в состоянии равновесия флуктуации gy гауссовы
вследствие линейности волновых систем и тройной коррелятор удаляющихся
волн равен нулю.
Формула (77) записана для временного представления, когда /12 совпадает с
/12. В спектральном и других представлениях в соответствующее выражение в
силу (61), (68), (74) дополнительно войдет матрица /1а.
420
§ 35. Кубические ФДС кирхгофовского типа
1. Стохастическое представление удаляющихся волн. Будем предполагать,
что в формуле (33.27) квадратичная нелинейность отсутствует, Uu оз = 0.
Тогда по формуле (34.52) будет равна 'нулю и функция Zh оз. так что
вместо (20.5) будем иметь
- Z4J1 4" 234^2^3^4 4"
Подставляя сюда (34.3) и разрешая получающееся равенство относительно gy,
находим
gl = U\gi 4" V12 (StZiSi 4" 1) ' S\Z\, 234 х
х (1 - t/2) (1 - t/3) (1 - U4) g2g3g4 + • • • (35.1)
Для некоторого упрощения формул предположим, что S12 = 112\ это
предположение носит непринципиальный, чисто технический характер.
Сравнивая (1) с (33.27), имеем
^i, 234 = 1/2 (2i +ir1Z1)234(l -Ua)(l-U3)(l-Ut) =
= V4 (1 - Ui) zlt 234 (1 - t/a)(l - Us) (1 - U4) (35.2)
(использовано (34.8)). Теперь примем во внимание случайные силы <8,
которые возникают в рассеивающем теле. Вместо (34.13) в рассматриваемом
случае следует брать равенство
hi 4" 1 = Zj Jj -)- 1/6Z], 234^2^3^4 4~
Подставляя сюда (34.3), учитывая (2) и снова разрешая равенство
относительно gy, получим
дг=ад-2-,/2(1-^1)",1-ь
+ Vei/i, 234 (g2 + 2~i/2c82) (g'i 4- 2-'/2^з) (gi + 2-,/2^4) + • • •
(35.3)
Воспользуемся стохастическим представлением (21.14) случайных сил. Оно
эквивалентно следующему:
-8\ = Е (?f0> +
О
Здесь мы положили 7П(?) = = /12, чтобы формулы выглядели
несколько проще. Такое же предположение сделано и в п. 21.3. Подставляя
сюда второе равенство (34.3), при учете (3) будем иметь
*. = 2 -I- 2~~1/2Т{%йа) (1 - Us) (gr3 + 2-,/2^з) +
О
+ 1/47,М0> (1 - Us) (1 - U4) (g's1 + 2-1 /2&3) (gi' + 2 л;2<84)]. (35.4)
Вследствие (4) равенство (3) принимает вид
_ 2~1/2(1 - С/,) ? [II0' + 2~]12т1аМа) (1 -С/а) (ёзп + 2~|/2 ЕЙТ)) + 4 2-
2T\V, (1 - Us) (1 - U4) (?3П 4- 2-1 /2 Е ) X
421
X (gi + 2~l/2 23 ^p)) j + y6U 1.234 (g2" + 2~1/2 | if1) x
X (g3n + 2~I/2 2 йх)) (gi + 2-1/2 23 glP)) + ¦ ¦ • (35.5)
Данное выражение может быть использовано (при учете формул из § 21) для
вычисления различных корреляторов уходящих волн gy. В частности, если
функцию gn считать фиксированной, не случайной и числовой (не
операторной), то можно вычислить условные корреляторы:
(gl > gl)gn = U12 \ 1/iP 12,3lg3g4 ,
(gf, gl, g|)gn = ^123, 4g4 , (gf, gl, g3> gf)gn = ^1234,
другими словами, вычислить входящие сюда четырехиндексные функции. В (6)
трехиндексные функции исчезли вследствие условия ^1,23 = О-
2. Упрощенное стохастическое представление. Кроме (5), можно записать
несколько более простое стохастическое представление:
gf = Ulgf + 1, 234glg3g4 + 23 [?fa> + Sl23?2g3 + 1/2s12,)34?2<7)g3g4 ]•
(35.7)
Путем сравнения (5) и (7) находим
= -2-1/2 (1 - U0 Г |1р) + 2~1Т\%йа) (1 - С/3) 23 1^т) +
т
+ 2-3r1(2a,)34^) (1 - U3) (1 - ?/*) 23 1зг)?1р) 1 +
т, р J
+ Ve • 2~3/2U1,234ёГ 23 1зт)^Р), (35.8)
Т, р
s$&a) = -2-1 (1 - ?/,) ГT[Ul{2a) (1 - ?/3) г
+ 2-iT1(^)34(1 - С/з)(1 -t/4)^0)23^t)]+2~2t/i,234^a)23^4T), (35.9)
т J т
Sl234^2a) = -2 3/2 (1 - Ul) Т1234 (1 - t/3)(l -1/4)!^ +
-|- 2 1/2t/,, 234?2P)- (35.10)
Если зафиксировать gn и найти условный коррелятор (gf, gl)gn (см. (6)),
то будем иметь в квантовом случае
Е^12, 34 = Ki234 + Ел34 + ^1234 + ^1243 - ^12, 34 + ^21, 34,
, , (оэ. II)
^12, 34 - V1234 W1234> t/12, 34 = 1234 ~\~ ^2143)
где Ц*
Kl234 = 23 S15?34 (С|0)> Сг*'), Kl234 = 23 Sl&.>34 (?2Т><*
'* (35лг>
*
Согласно принимаемой нами точности входящие в (12) корреляторы следует
вычислять, учитывая лишь члены порядка kT. При этом вместо (8) можно
полагать
SiCT) = -2~1/2 (1 -Ui) ?i<CT). (35.13)
Перейдем к тройному коррелятору (второе равенство (6)). Как показывают
выкладки, при помощи (7) получаем
и 123, 4 - i/l23, 4 -f- ?/213, 4 ~t" U312', 4" (35.14)
где обозначено
UT23?4= U №<&>, Й"),
о, т, р
^з?4= U йр)), (35.15)
о, т, р
^3+4= и ^р), й0)>.
а, т, р
Наконец, вычисляя четверной коррелятор, находим
i/1234 = И <da\ Йт>, ^Р), dn)>- (35.16)
