Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
V(x) = u0(x) + Xi"i(jc) + X2u2(x) + .. . + \kvk(x) + . .. , (27)
где vk(x) (k = 0, 1, 2, . ..) суть некоторые функции от jr. Подставляя
это выражение У(х) в (23) и (24) и приравнивая нулю коэффициенты при
различных степенях X, получим следующие уравнения для последовательного
определения функций д*(х):
Vo(x) - (/(х) и0(х) + Дх) = 0. (28)
L(v0) = 0. Мдо) = 0 (28д)
и для всякого к, начиная с 1,
и * (*) - ) vif{x) + р(х) у* _, (х) = 0, (29)
L(vk) = 0, L,(y*) = 0.
Общий интеграл линейного однородного уравнения, соответствующего
неоднородному уравнению (28), имеет вид
v(x) = С, и, (х) + С2 и2 (дг),
где и,(х) и и2(х) - два частных (различных) решения уравнения (13),
удовлетворяющие условиям (14) (п. 5).
Пользуясь методом изменения произвольных постоянных, получим общий
интеграл уравнения (28) в виде
М*) = Ci их (дг) + Сги2(х) + г0(х), (30)
где С| и С2 - две произвольные постоянные, а
д:
а а
r0(x) = u,(x) f f(x)u2(x)dx и2(х) f f(x) ut(x)dx. (31,)
Уравнение (29) отличается от (28) лишь тем, что функция /(х) заменена
функцией р(х)vk(х). Поэтому общий интеграл уравнения (29) представится в
виде (при всяком к = 1, 2, 3,...)
vk (х) = Ci*} и, (х) + С [к} иг (х) + гк (х), (31)
(кЧ
где С , и С, - произвольные постоянные, а Гк (х) =
= ui(x) f p(x)u*_,(x)u2(x)dx - u2(x) /р(х)ц*_,(х)м,(х)</х. (31,)
a Q
12. Подберем теперь произвольные постоянные С,, С2 и С,*\ С2к) в
выражениях (30) и (31) так, чтобы условия (28,) и (29,) были
удовлетворены. Так как левые части этих равенств линейны относительно
и0(х). vk (х) и их первых производных, а и0(х) и vk(x) линейны
относительно постоянных
83
с"с" с\к\ cl*>, то очевидно, что результат подстановки (30) и (31) в
(28]) и (291) дает уравнения вида
C\L(U\) + C2L(u2) + L(r0) = 0,
Ci L1 (м!) + C2i i(m2)+Li(/,o) = 0
и
С|')ДМ,) + С1')Ц"2)НЫ = о,
cf^GO + c^MM + M'O-o (*-1.2,3,...). (32.)
Для определения постоянных Сь С2 и получается система ли-
нейных уравнений, определитель которой равен, очевидно (см. п. 5),
L(u,)L,(u2) -?(м2)?,(м,) = аД0). (33)
В силу допущения, сделанного в пп. 5 и 8 (неравенства (15) и (211) ),
этот определитель не равен нулю как в случае условий (28]), так и в
случае условий (29!). Уравнения (32) и (321) разрешимы относительно Сь С2
и С,(Ч С$к\ Последние дают, в случае условий (28 ] )*),
Мк) = мк(Ь) [иг(Ь)-0и2(Ь)\ -Nk(b) [и[(Ь)-g"i,(*)-а]
ы(0)
Mk(b){y[u'2(b)-(iu2(b)] - а[1 + аы2(Ь)]}
С2 -------------------------------------------+
ы(0)
Nk(b) ((а2 + 0у)"ЛЬ) -уи\(Ь)) ы(0)
где положено, вообще,
Мк{х) = /р(х)и*_,(х)и,(х)с/х,
а
Nk(x) = f p(x)vk_l(x)u2(x)dx,
a
(34)
(35)
a со (0), напомним, определяется равенством
to(0) = u\(b) - /Зиi (b) - 2a + yu2(b) - (a2 + 0y) u2(/>). (35 ])
Выражения для C\ и C2 получатся из с\к^ и C\k\ если заменить в фор-
мулах (34) и (35) под знаками интегралов функцию р(х)ик^{(х) через Дх). В
случае условий (291) получим
,к) _ Л!к{Ь) [ц,(Ь)-р1 -Mk(b)u2(b)
рсо(0)
С(к) = Мк^ \rui(b) - ри'г(Ь) + 1] - Nk{b) [тил(Ь)-ри\(Ь)} ^
2 ~ ы( 0)
*) Следует принять в расчет, что на основании (14) и, (х)и'2 (дг) - иг
(х)и[ (дг) = 1 при всяком х и что гк(а) = 0 и гк(а) = 0.
84
где, напомним (см. (211) п. 8),
со(0) = 2- ~ ut(b)- ри'2(Ь) + ти2(Ь). (36,)
Выражения для С, и С2, так же как и в предыдущем случае, получатся из
(36) и (35) заменой под знаками интегралов функции p(x)vk _, (х) через
fix).
Подставив найденные выражения для С{А) и С^А) в (31), получим, приняв в
расчет равенства (31,) и (35),
vk (дс)= и| (х) Nk (х) - и2 (х) Мк(х) + со, (х) Nk (b) - со2(х) Мк (6),
(37)
где со,(х) и со2(х) суть линейные однородные функции от м,(х) и и2 (х),
выражения которых выписывать не будем*).
Формулу (37) можем считать справедливой при всяком к, начиная от к= 0,
если условимся, что р(х)и_,(х)= /(х).
13. Функцию vk (х) можно представить в виде
"*(*)= / />(""*-! (О / PiI)и*-.(DM*. SMS, (38)
а а
ПОЛОЖИВ
ФI ix, S) = и, (х) иг (I) - и2 (х) и, (I), S) = b>\ix)u2i%)~ со2(х)м,(|).
Каждая из этих функций непрерывна по | вместе со своими производными двух
первых порядков в промежутке изменения | от а до Ь, каково бы ни было
значение х, взятое в этом промежутке, причем i//, (х, |) обращается в
нуль при х = |.
Обозначим через ф(х, |) функцию, которая равна
Фix, %)=ф,(х, |) + ф2(х, |) при а < | <х (38")
и равна
Ф(х> S) = Фг (Jc, I) при х < | < Ь. (38"')
Определенная таким образом функция ф(х, |) непрерывна в квадрате а <
<х<6, сг<|<6 и имеет при %Фх производные до второго порядка,
интегрируемые по | на [а, Ь\.
Равенство (38) при этом может быть представлено в виде
"*(*)= / P(SM*-i(S)lK*. SMS- (38,)
а
Отсюда при помощи неравенства Буняковского (гл. 1, п. 3) выводим
v\ (*) < I Pik) v\ -1 (S) d\ J р(Х)Фг (x, I) d%,
a a
так как p{f) по условию неотрицательна в промежутке [a, b].
*) Постоянные коэффициенты функций u;,(jc) и ш2(х) линейных однородных
относительно и, (х) и иг (х), будут, конечно, различны для условий (24) и
(24,).
85
Положив, вообще, wk = / p(x)v\(x)dx
