Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
промежутке [а, Ь\. Следовательно, если в уравнении (А) р(х) и q(x)
остаются неотрицательными и соблюдается условие (13), то задача не может
иметь более одного решения.
9. Рассмотрим подробнее условие (13). Предположим сначала, что искомая
функция (/принадлежит функциям 1-го класса, т.е. определяется предельными
условиями вида (В,). Очевидно, что У, равное разности двух различных
значений U, удовлетворяет тем же условиям, т.е.
V(t, Ь). Эта форма наверное будет отрицательна при всех значениях аргу
ментов, если
При этих условиях, как указано в конце предыдущего пункта, необходимо V ~
U\ - U2 = 0, т.е. задача не может иметь более одного решения**).
*) Конечно, по-прежнему считается, что р(х) ^ 0. Однако, для приводимого
ниже рассуждения достаточно предположить, что р(х) + q(x) ? 0. (Прим.
ред.)
**) Это предложение будет справедливо и в том случае,когда 0, или 7, или
оба вместе обращаются в нуль, если только при этом а - 6 = 0.
Поэтому условия (14) можно заменить такими:
0<О, у > 0, (а - 6)1 + 40т < 0, (14,)
условившись при этом при знаке равенства в одном или обоих из двух первых
из этих трех неравенств в третьем непременно брать нижний знак
(равенство).
dx =
t ЪУ ь = f У ---------------------- dt,
О дх а
ь ^
ибо, в силу (11), / p(x)V*dx = 0 при / = 0.
а
у
дУ- ь - <0, Ьх а
(1з:
При помощи этих соотношений находим
ЪУ ь
У - = 0У7(г, Ь)-уУ2(г,а) + (а-8)У(/, а)У(/, Ь),
Ъх а
т.е. выражение (13) есть квадратичная форма двух переменных У((, а) и
0<О, 7 >0, (а-б)2 +407<О.
(14)
69.
10. Предположим теперь, что искомая функция U принадлежит функциям 2-го
класса, т.е. удовлетворяет предельным условиям (В2). В этом случае в силу
(В2), которым, очевидно, удовлетворяет и функция К, получаем
ЭК
У Эх
ь ЭК(/, а)
= (ра - 1)К(/, а) ---------------- + рт V2 (г, а).
дх
Правая часть этого выражения будет наверное отрицательна или равна нулю
при всевозможных (вещественных) значениях
ЭК(/, а)
V(t, а) и -,
Эх
если
ра - 1 = 0, рт <0, (15)
т.е. когда условия (В2) принимают вид
dU(t, Ь) 1 ЭU(t, а)
U(r,b) = pU(t,a), -4- = Г- +rU(t,a), (В3)
Эх р дх
где постоянные риг подчинены условию
рт <0. (15.)
Таким образом, при выполнении условий (15) все задачи второго класса не
могут иметь более одного решения.
11. Замечательно, что во всех задачах математической физики двух
отмеченных нами типов соблюдаются соответственно условия (14) и (15).
Так, в задаче об охлаждении прямого стержня условия (3) (п. 1) при замене
пе-* dx
ременной х через / - + С (см. (9) п. 6) приводятся к виду о к
dU(t, Ь)
----------- +HU(t,b) = о.
Эх
ЭU(t, а)
-hU(t,a) = О,
Ъх
И>0, Н>0.
В данном случае а = 5 = 0, 0 = - Ж 0, у-И>0. Условия (14), очевидно ,
соблюдены.
В случае задачи согнутого стержня, крайние сечения которого приведены в
соприкосновение (п. 3), условия (5) приводятся к виду
ЭU(t, Ь)
=h\U(r,a) U(r,b)),
Эх
Э U(t, а)
Эх
70
h[U(t, a)- .UU, Э)|.
В этом случае а = Л, 0 = -Л, y = h, б = -Л, Л > 0, т.е. 0 < 0, у > О, (а
- б)2 + + 40т = О.
В задаче об охлаждении сплошного кольца, принадлежащей задачам 2-го
класса, условия (4) представляются в виде*)
т.е.р = о = 1, т = 0. Условия (15), очевидно, соблюдены.
Случай, когда в согнутом стержне в месте соприкосновения крайних сечений
не происходит скачка температуры, т.е. когда предельные условия имеют вид
(6), также принадлежит задачам 2-го класса. Но этот случай аналитически
не отличается от только что рассмотренного, ибо условия (6) после их
преобразования к новой переменной по формуле(9) приводятся к виду (16).
Следовательно, и в этом случае условия (15)также соблюдаются.
На основании сказанного можем утверждать, что во всех изучаемых в теории
тепла задачах о распределении температуры в твердых телах линейных
размеров может получиться одно и только одно определенное решение, если
только таковое возможно.
Первое испытание правильности гипотез, положенных в основу теории тепла,
приводит, таким образом, к удовлетворительному результату (см. п. Игл.
111).
Заметим, что полученный результат легко распространяется и на предельные
случаи, когда некоторые из постоянных в уравнениях (В[) и (В2) обращаются
в бесконечность, но мы на этом сейчас останавливаться не будем.
12. Из доказанной теоремы вытекает следующее весьма важное следствие.
Так как задача при соблюдении условий (14) или (15) может допускать
только одно решение, то, если каким бы то ни было способом мы найдем
некоторую функцию U(t,x), удовлетворяющую уравнению (А), начальному
условию (С) и предельным условиям (В,) или (В2), найденная таким путем
функция U(t,x) даст окончательный, единственно возможный ответ.
Для одной задачи математической физики весьма частного характера, а
именно для задачи о колебании однородной упругой струны, Эйлер, а затем
Бернулли предложили особый прием решения, который был распространен затем
Фурье, Пуассоном и позднее Ляме на другие задачи подобного рода. Идею
этого метода мы сейчас и изложим в применении к интересующему нас
