Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
а
(39)
и заметив, что 0 < / р(%)ф2(х, %)d% <Q2, где Q2 есть конечное число, мо-
а
жем писать
v2k(x)<a2wk.l.
(40)
14. Интегралы (39) аналогичны интегралам, введенным Шварцем в его
исследовании об интегрировании дифференциального уравнения*)
Ъ2и Ъ2и
- + - + р(х,у)и=0.
Эх Э у
Мы будем называть интегралы Wk интегралами Шварца.
Умножим (40) на p{x)dx и интегрируем результат в пределах от а до Ь.
Получим
Wk<Q2 S p(x)dx. Wk_t = N2Wk_{.
a
i.e.
wk / <n.
(41.)
где N есть положительное конечное число, не зависящее от выбора функции
}\х) в уравнении (23) (п. 11).
Преобразуем затем интеграл Wk следующим образом: заменим в нем
произведение р(х) н*(х) его выражением, следующим из уравнения (29).
Получим
ь ь
Wk = / p(x)vk(x)dx = / Hfc(Jf) [q(x)vk+](x) - и* + , (jr)| dx.
a a
(42)
Ho
/ vk(x)vk + , (x)dx = vk(x)v'k+l(x)
f v'k(x)u'k+,(x)dx = v'k(x)uk+l(x)
- j vk(x)vk + l (x)dx.
откуда при помощи того же уравнения (29) выводим / и* (-V) Ufc + , (л:)
с/х =
а
f ь ь
= vk(x)vk+l(x) - S vkn(x) |<7(Jf)H*(Jf)-p(Jf)H*_,(jf)| dx.
a a
*) "Uber ein die Flachen kleinsten Flh'cheninhalts befreffenden Problem
der Variations rechnung".Zweiler TheiKWerke. Berlin. 1890, Bd. I. S. 241
etc.).
86
т. е.
jf vk (*) vk + | (x) rfx = (uA (дг) +, (x) - vk (x) vk + | (x)) * +
a ! a
b b
+ f q(x)vk(x)vk+t(x)dx - f р(х)ц*_, (х)у*+, (x)</x.
a a
Но функции vk(x) и vk +1 (x) удовлетворяют предельным условиям того же
вида, что и искомые нами фундаментальные функции Vk(x), причем для обоих
типов этих условий (24) и (24,) условие ортогональности соблюдается (см.
п. 1 этой главы). Следовательно,
ь
(и* (ДГ)и^+ | (дг) - t"i(AT)L"A+ | (ЛГ)) =0
Ь п Ь
I vk(x)vk+,(x)dx - J q(x)vk(x)vk+t(x)dx = а а
Ь
= - f р(х)и*_.,(х)и*-, | (х> сУ.х.
а
В силу этого соотношения равенство (42) приводится к виду ь
Wk = S p(x)vk_,(x)vk+, (x)dx.
а
Отсюда при помощи неравенства Буняковского выводим
VX77. или v^T/^й^
Из этого неравенства и (41), имеющих место при всяком целом к (включая А'
= 0), выводим ряд неравенств
\ГК yfWi sfW2 yfW?
< -7=; < -= < .< (43)
где введено условное обозначение b j'2 (дг)
W_, = / -- dx (44)
а р(х)
в предположении, что этот интеграл имеет определенный смысл. Неравенства
(43) мы будем называть неравенствами Шварца.
15. Сравним ряд (27) со следующим:
Q(\fwZl + IXlvHv; + IX21 \J~Wl + ... + 1Х*|>/Т5Г+...). (45)
Так как в силу (40) 1п*(х) | < Q \/ Wk _ ,, то по теореме Коши радиус р
круга равномерной сходимости ряда (27) не менее радиуса круга сходи-
7
мости ряда (45). Этот же последний равен, очевидно, lim -т=г- .
к -"- y/Tvk
87
Итак.
р> lim -J=r (46)
* - - V Wk
Умножим теперь ряд (27) на p(x)v0(,x)dx и интегрируем результат в
пределах от а до Ь. Получим ряд
ь " ь
5(Х) = / p(x)v%(x)dx + X / p(jr)ui(jr)u0(jr)ox + .. .
а а
... + X* / р(х) vk (jc) u0(jc) dx + .. . (47)
a
Обозначим радиус круга его равномерной сходимости через R i.
Как известно, радиус круга равномерной сходимости всякого ряда,
получающегося из какого-либо данного путем интегрирования, не менее
радиуса круга равномерной сходимости зтого последнего. Следовательно, в
данном случае
Р<Л.. (48)
Заменим в ряде (47) X через - X. Получим ряд
5( - X) = / р(х) v%(x)dx - X / p{x)vx(x)v0(x)dx + .. . а а
... +(-1)* X* //>(jr)M*)MJc)djr + ...,
а
радиус круга равномерной сходимости которого есть/?1. Радиус/? круга
равномерной сходимости ряда
5(Х) +У(- X) = 2 ( / p(x)vl(x)dx + а
+ Х2 //?(jr)uo(Jc)u2(Jc)rfJc + .. . + X2* / p(jc)u0(j:)i>2*(jc)dj:
+ . ..) (49)
а а
во всяком случае не менее R i, т.е.
/?, </?.
Отсюда на основании (48) заключаем, что
р</?. (50)
ь
16. Рассмотрим интеграл /2 к = / p(jc)u0(jc)i)2*(jc)</jc. Положив
в (29)
а
к = 1, получим р(х) u0(jc) = <?(jc) i"i (jc) - U|'(jc) . Поэтому можем
писать
b ь f
Ilk = / Я (x) и, (jc) v2 к (x) dx / v2 k (jc) i/,'(*) dx. a a
Подобно предыдущему (п. 14),
*ii ii
5 v2k(x)v"(x)dx= (v2k(x)v\(x) u2*(3f)yi(jr))
a
+ / u,(jr)u2*(j[-)rfj[-. a a
88
Так как в предельных условиях (24) и (24,), которым удовлетворяют функции
ui (jr) и us *(х), условие ортогональности соблюдается, то
(иг*(х)и',(х) -v'lk(x)vi(x))
b
= 0.
а
а, в силу уравнения (29) (при замене к через 2к), I vx(x)v2k(x)dx =
b h
s q(x)vx(x)v2k(x)dx - f p(x)vi(x)v2k~l(x)dx, a a
TO
b b
hk= f p(x)vx(x)v2k_x(x)dx = f p(x)v0(x)v2k(x)dx. a a
Подвергнув первый из этих интегралов снова только что указанному
преобразованию, получим
ь ь
f p(x)vx(x)v2k_x(x)dx = f p(x)v2(x)v2k_2(x)dx. a a
Повторив последовательно такое преобразование s раз, убедимся, что
ь ь
hk = f pXx)v0(x)v2k(x)dx= f p(x)vs(x)v2k_s(x)dx.
a a
b
Положив s = к, получим l2k = f p(x)vk(x)dx - Wk. При этом равенство
a
(49) дает
S(k) + S(- \) = 2(^0 + *2 Wx + X4 W2 + .. . + X2* Hi* + . ..).
Радиус R круга равномерной сходимости этого ряда равен, следовательно,
R = liin (\J Wk -17 V ^*) • Отсюда на основании (50) заключаем, что
* - - _ _________
р< lim (\/~Wk -Г] / V Wk). Сопоставляя это неравенство с неравенством
