Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
v = u0+vvl +tj2u2 + . . . +1jV* +. . . (54i)
При помощи (54) получаем следующие уравнения для последовательного
определения функций ик (к = 0, 1,2,...) :
Аи0 + = 0 внутри (S),
Э-ио, (55)
------ Ь hovol = 0 на поверхности (5),
дп
&ик = 0 внутри (5),
(55'"
-g- + h0vkl + vk _ 111 =0 на поверхности (5).
Определение функции и0 представляет задачу п. 6 (уравнения (26) и (27)).
Так как
А0 < 1 / Xi, (56)
то мы можем найти функцию и0 приемом, указанным в предыдущих пунктах.
Найдя и0, определим затем последовательно ot, и2, ..., и* _i. Определение
каждой из функций ик (к = 1, 2, 3, ... ), как показывают уравнения (551),
сводится к решению задачи п. 11 (уравнение (46) при v = 0). Так как А0
удовлетворяет условию(56), то указанным в этом пункте приемом мы найдем и
ик при всяком к, начиная с к = 1.
Подразумевая в (54t) под vk таким образом найденные функции, получим ряд,
формально удовлетворяющий уравнениям (54).
16. В уравнениях (551) роль функции f уравнений (491) играет функция
uk~i,i ¦ Обозначая, вообще , через Мк максимум модуля функции vki,
получаем, применив к рассматриваемому случаю неравенство (53), | vk | < <
Мк _ i/A". Отсюда
Mk<Mk-ifh0 и
Сравнивая ряд (54,) с рядом
Л/о + 7?Л/1 + т}2 М2 + ... + т)КМк+ ...,
заключаем при помощи(57), что ряд (54,)сходится абсолютно и равномерно на
поверхности (5)при всех значениях tj, удовлетворяющих условию т?<Ло-Так
как vk (к = 1, 2,3,... ) суть гармонические функции внутри (5), то из
сказанного на основании теоремы IV гл. {заключаем, что ряд (54,) сходится
равномерно во всей области (D), ограниченной поверхностью (5), причем ряд
V= и, + r)v2 + . . . + т)к~ 1 vk + ... представит гармоническую функцию
внутри (5).
Ряд (54,) представится в виде и = v0 + У. Отсюда, приняв во внимание
первое из уравнений (55), заключаем, что найденная функция и
удовлетворяет уравнению (26). Повторив затем с незначительными
изменениями рассуждения пп. 7,8 и 9, мы докажем, что и удовлетворяет и
условию (27).
Таким образом, докажем существование функции и , удовлетворяющей
уравнениям (26) и (27) для значений Л < 2/Х,, ибо постоянную Л0 можно
взять сколь угодно близкой к 1 / X,.
Если обозначим затем через Л0 число, достаточно близкое к 2/Х,, и
применим к уравнениям (54) те же самые рассуждения, убедимся в
существовании функции v, удовлетворяющей уравнениям (26) и (27) при Л <
3/Х,, и, продолжая повторять зти рассуждения какое-либо число праз,
докажем существование функции и, решающей задачу об установившейся
температуре (уравнения (26) и (27)), при всяком Л < и/Х,, где л -какое
угодно целое число; иначе говоря, при всяком положительном h .
Сопоставляя все вышесказанное, приходим к следующей теореме. Теорема
II.Для всякой поверхности, к которой приложим принцип Робена, и, в
частности, для всякой конвексной поверхности Ляпунова существует
единственная вполне определенная функция и, решающая общую задачу об
установившемся тепловом состоянии твердого тела (однородного), т.е.
удовлетворяющая условиям
Ди + (?>= 0 внутри (S), (58)
где (5) есть поверхность, ограничивающая тело, И - какая угодно
положительная постоянная, а <р и f - две произвольно заданные функции,
первая внутри (5), подчиненная условию Гельдера, а вторая на поверхности
(S), подчиненная условию непрерывности.
17. Напишем уравнение (58,) в виде
и рассмотрим предельный случай, когда Л стремится к бесконечности.
В пределе уравнение примет вид *)и,- = 0. Получим задачу об
установившейся температуре в однородном теле, лучеиспускательная
способность
OVj
- + Ли,- +/= 0 на поверхности (5) Ъп
(58,)
bV(
*) Выражение - + / предполагается конечным. Эл
347
поверхности которого бесконечно велика. Задача приводится к определению
функции и при помощи уравнений
Ли + ^ = 0 внутри (S),
и,- = 0 на поверхности (S).
Положив, как в п.7,
1 у
v = и + - /- dT = u + w,
4тг г
сводим задачу на определение функции и при помощи условий Ли =0 внутри
(5),
Uj = - W/ на поверхности (5),
т. е. к задаче Дирихле. На основании теоремы II (п.7) гл. Ill мы можем
решить эту задачу методом Неймана для всякой поверхности, к которой
применим принцип Робена.
В рассматриваемом случае w (заданная функция) как потенциал объемных масс
имеет непрерывные частные производные по координатам во всем
пространстве. При этом по четвертой теореме Ляпунова (гл. I) потенциал
двойного слоя
I w COS \D
*.=--/------------^ ds (59)
2тг т ¦
имеет правильные нормальные производные на поверхности (5).
На основании теоремы VIII предьщущей главы мы можем решение
рассматриваемой задачи представить в виде потенциала простого слоя по
формуле (77), если будем там подразумевать под А0 нормальную производную
от потенциала W,, определяемого равенством (59) *) .
18. Рассмотрим теперь следующую задачу:
Найти внутри данной поверхности (5) такую функцию от двух систем
координат 5, т), f и х: у, г, которая остается непрерывной вместе со
своими частными производными первого и второго порядка по переменным ?,
