Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
, Р' при сделанном условии относительно функции Н удовлетворяет уравнению
Пуассона
АР' + Н = 0 внутри (5).
Поэтому, подставив (25) в уравнение (21), получим следующее уравнение для
определения функции V :
ДК = О внутри (5),
а условие (22) обратится в такое:
ЭК, , ЪР',
=/----------=/ на поверхности (5).
Ъп Ъп
Очевидно, в силу (23),/ подчинено условию //* = 0.
Задача об определении функции Р сведена, таким образом, к задаче Неймана.
Так как эта последняя решена нами в предыдущей главе для всякой
поверхности (5), к которой приложим принцип Робена, то и основную теорему
теории вихревого движения жидкости можем считать доказанной, и задачу
теории тепла об установившейся температуре, разрешенной для вся-кой
поверхности, удовлетворяющей только что указанному условию.
6. Общая задача об установившейся температуре приводится к определению
функции v при помощи уравнений
Ди +1/> = 0 внутри (S), (26)
Ъи,
- + hv, * 0 на поверхности (S), (27)
Ъп
где Iр есть заданная внутри (5) функция координат, которую будем
предполагать подчиненной условию Гельдера (п. 4 гл. I ), а А есть
положительная постоянная.
t Эту задачу рассматривал Пуанкаре в своем известном мемуаре "Sur les
equations de la physique mathematique", опубликованном в ''Rendiconti del
Cir-colo Matcmatico di Palermo'' в 1894r" предложив следующий прием ее
решения. Положим
о = v0 +hv, +A2u2 + ••• +Л*и* + ..., (28)
где vk (k = 0, 1,2, ...) суть некоторые функции координат. Подставив
это выражение и в (26) и (27) и приравняв нулю коэффициенты при
одинаковых степенях параметра И, получим следующую систему уравнений для
последовательного определения функции vk:
Av0 +<р = 0 внутри (5),
= 0 на поверхности (5) (28,)
и
Ди*= 0 внутри (S) {к = 1.2,3,...),
Ъик,
+ vk _ 1 , = 0 на поверхности (S) .
Ъп
337
Определение функции v0 приводится *) к решению задачи п. 4, а всех
остальных функций vk (к= 1,2,3,...)- непосредственно к решению задачи
Неймана. На основании исследований предыдущих глав мы можем
последовательно определить все эти функции, пользуясь либо методом
Неймана, изложенным в гл. III, либо методом, указанным в гл. II этого
сочинения.
В своих исследованиях Пуанкаре должен был пользоваться методом Неймана,
так как последний из только что упомянутых приемов в его общем виде еще
не был известен, вследствие чего анализ Пуанкаре не мог быть признан
совершенно строгим. Метод Неймана дает изображение искомых функций в виде
потецциалов двойного слоя, но до появления исследований А .М. Ляпунова
оставались невыясненными условия, при которых эти потенциалы допускают
правильные нормальные производные даже для конвексных поверхностей.
Поэтому оставалось недосказанным,' что функция v, определяемая рядом
(28), действительно имеет нормаль-
dVj
ную производную - и притом представляющую в виде сходящегося Эи
ряда
ЭИ/ ЗИо/ Si)]/ 3l>2 /
=----------- + h2 + ... + й* + ...,
Эи Ъп Ъп Ъп Ъп
т.е. что эта функция v на самом деле (а не только формально)
удовлетворяет условию (27).
Однако и в настоящее время доказательства только что указанных положений
при употреблении метода Неймана представляют значительные затруднения.
Все эти затруднения мне удалось устранить, воспользовавшись для решения
задачи теоремой VI гл. II, которая позволяет представить искомую функцию
в виде потенциала простого слоя и, таким образом, разрешить задачу со
всей строгостью. В то же время оказалось возможным определенно указать
весьма обширный класс поверхностей, к которым, как будет показано ниже,
принадлежат все поверхности Ляпунова, несомненно допускающих применение
только что упомянутого приема решения рассматриваемой задачи.
Результаты этих исследований были сообщены мною в краткой заметке в
''Comptes Rendus" 15 окт. 1900 г.**)и затем изложены в сочинении ''Общие
методы решения основных задач математической физики".
7. Предположим сначала, что функция \р удовлетворяет условию
J sfidr =0. (30)
Определение функции v0 представляет задачу пп.4ц5 при частном
предположении/' = 0,Н = ip, Функция v0, следовательно, имеет вид
1 ^
v0 = и о + -f-dT = v'o + W, (31)
4п г
* ) При частном предположении, что /'= 0.
**) W. S t е k 1 о f f. Le probleme des temperatures stationnaires. -
Paris, 15 oct. 1900; см. также мой мемуар "Sur les problfemes
fondamentaux de la Physique mathe'matique" (An-nales de Г Ecole Normale.
- Paris, 1902, т. XIX, chap. 11).
338
где и о есть функция, подчиненная условиям До0'= 0 внутри (S), bv'oi
Э w,
на поверхности (5).
дп дп
По теореме VI гл. II v'0 представится в виде потенциала простого слоя,
причем можем, очевидно, положить
где С0 - произвольная постоянная,а р0 представляется рядом (76,) гл. II,
dwt
в котором / нужно заменить на -------. По формуле (31) получаем
дп
Vo= v'd + w + С0.
Определив постоянную C0 при помощи равенства С0 S + / (Оо#+ w)ds - О,
получим функцию Vo, удовлетворяющую уравнениям (28,) и условию / v0 ds =
0. При этом станет возможным определение функции о, по формулам (76),
