Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
с граничной функцией f -VI i (обращающиеся на поверхности (S) в функцию
f-Wi) имеет правильную Нормальную производную Щ
- на этой поверхности.
Ъп
По теореме II
Wi - W2 +А = Wi - 2W2 + W3 +A, (82)
где
1 - COS if
Г,
a
~ 1 ~ cos
wk~~ fwk-t -T~ ds = Wk-Wk_,, к = 2,3,...,
2n r
A=-^{ W3 ~{Wk -W3) + ... + (-l)k-' (fr*-?*_,)+...} .
Так как функция А, как и функция А, имеет правильную нормальную
производную на (S), то существует правильная нормальная производная
329
Wi =-Sf-ds
и функции
W1 -2W2 (83)
(существование правильной нормальной производной функции W3 отмечалось
выше). Но тогда и функция
Wi=2{Wi-W2)-{Wl-2W.2)
имеет правильную нормальную производную как разность функций, обладающих
этим свойством.
Таким образом, приходим к следующей теореме.
Теорема IX. Для того чтобы функция W, удовлетворяющая внутри данной
поверхности (S) уравнению Лапласа и обращающаяся на самой поверхности в
заданную непрерывную функцию /, имела правшгьную нормальную производную
bWf
на поверхности (5),
Ъп
необходимо и достаточно, чтобы потенциал двойного слоя 1 cos V?
ЭИ'1,
имел такую же нормальную производную --------.
Ъп
25. Легко предусмотреть, что такая же теорема должна иметь место и для
случая внешней задачи Дирихле. Приведем вкратце ее доказательство.
По теореме 111 решение внешней задачи Дирихле можно представить в виде
^
w = -w1-w2-T (W3 + (W+ + W3) + ... + (Wk + _,) + ...| +
С p
+ - /- ds = -Wi -W2+B. (84)
Со т
Здесь функция В представляется в виде суммы потенциала простого слоя
снепрерывнойплотностью и решения внешней задачи Дирихле с граничной
функцией W2, удовлетворяющей условию (141) гл. 1 . Следовательно, она
имеет (см. п. 23) правильную нормальную производную ЪВе
Ъп
Таким образом, из существования правильной нормальной производ-дИ',
ной ------- вытекает существование правильных нормальных производных
Ъп
(внешней, а следовательно, и внутренней) функции Wt + W2. Отсюда, как и в
предыдущем пункте, следует существование внутренней, а следовательно и
внешней, правильной нормальной производной потенциала двойного слоя Wt.
Получаем следующую теорему.
Теорема Х.Для того чтобы функция W, удовлетворяющая вне поверхности (S)
уравнению Лапласа и обращающаяся в данную непрерывную
330
функцию f на самой поверхности, имела правильную нормальную произ-dWe
водную , необходимо и достаточно, чтобы потенциал двойного слоя
Ъп
1 COS 10
И', =- // - ds (85)
2п г*
имел такую же нормальную производную.
26. Две последние теоремы справедливы для всякой поверхности Ляпунова,
к которой применим принцип Робена, в частности, для всякой конвексной
поверхности. Другой прием доказательства этих теорем был дан А.М.
Ляпуновым в его неоднократно цитированном мемуаре 1898 г. "Sur certaines
questions etc." * ).
Что же касается задачи Гаусса и задач о преобразовании потенциала
простого слоя в потенциал двойного слоя и обратно, то изложенное выше их
решение было указано мною сначала в краткой заметке в "Сош-ptes Rendus" в
1899 г., а затем подробно изложено в 1900 г. в упомянутом выше мемуаре,
опубликованном в''Annates de Toulouse", и в сочинении ''Общие методы
решения основных задач математической физики"**).
Метод Неймана, как показано выше, дает решение задачи Дирихле всякий раз,
когда функция /, в которую должна обращаться искомая гармоническая
функция, подчинена единственному условию непрерывности. При этом общем
предположении потенциал Wx (см. (85)) может, вообще говоря, не иметь
нормальных производных, что нами отмечено в гл. 1 сочинения. Теоремы IX и
X показывают, что в этих случаях и функция, представляющая решение задачи
Дирихле, также не будет иметь определенных нормальных производных во всех
точках данной поверхности.
В п. 12 гл. 1 нами высказаны две теоремы, устанавливающие, что может
существовать одна и только одна гармоническая внутри или вне данной
поверхности (S) функция, обращающаяся в наперед заданную функцию на самой
поверхности. Доказательство этих теорем основывается обыкновенно на
формулах преобразования Грина (32) и (37) гл. 1 . Но эти формулы,
несомненно, справедливы только при условии, что гармонические функции U и
V, к которым они применяются, имеют правильные нормальные производные на
данной поверхности.
В силу только что сказанного обычный прием доказательства этих теорем не
устанавливает их во всей общности при единственном условии непрерывности
функции / на поверхности (•S'). Однако теоремы, о которых идет речь,
справедливы в самом общем случае.
Наиболее простое доказательство, не требующее вышеупомянутого ограничения
функции /, получается, если их рассматривать как прямое следствие теоремы
1 гл. 1 .
* ) См. A. Liupounoff, toe. cit., pp. 283-293.
**) W. S t e k 1 о f f. Sur les probl&mes de Neumann et de Gauss. -
Comptes Rendus, 19fcvr., 1899.
W. Stekloff. Les methodes generates pour resoudre les probiemes
fondamentaux de la physique mathematique. - Annales de Toulouse, 1900,
pp. 270, 271.
