Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
+[-1-^+х(Ч-5*+-г?!)]х*} + 141'
208 КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
Оставшийся первый интеграл удобнее взять в виде суммы интеграла энергии
(1.7) и тривиального интеграла (1.5). Используя (5.1) и (5.2), запишем
первый! интеграл системы уравнений (5.3) в виде
(Х3ХЪ + Х&б) - (Х*Х" + Ж4Жб) +
+ I(Я ~ Уg к (хз - xi)J + ^ | z412 + 41 xe |2 + [4] = [i2.
1.6. Возможные обобщения. Рассмотренная здесь система дифференциальных
уравнений является трехпараметрической,- по числу входящих независимых
параметров: а, с и ? (напомним, что ? = + У1 - ?2). Если бы эллипсоид
инерции относительно точки О оказался эллипсоидом вращения (а = 1 или с =
1 или а = с), или центр тяжести оказался бы на одной из главных осей
произвольного эллипсоида инерции относительно точки О (? = 0 или ? = 1),
то система уравнений была бы двухпараметрической. В случае Лагранжа -
Пуассона (а = 1, ? = 0) система уравнений (1.1) содержит один параметр с.
В случае кинетической симметрии (а = с = 1, ? = 0) и в случае Ковалевской
(а = 1, с = V*. е = 1, либо а = с = 2, ? = 1) система уравнений (1.1) не
содержит параметров. В общем случае движение твердого тела описывается
системой дифференциальных уравнений с четырьмя параметрами: а, с, ?, г\ Ц
= + Y1 - ?2 - if).
Получающиеся четырехпараметрические уравнения аналогичны (другой подход,
см. § 2, приводит к более простым уравнениям) здесь приведенным, но более
громоздки. Также более громоздки и уравнения колебаний около положения
равновесия в других силовых полях, например, в центральном ньютоновском
поле сил.
Проделанные преобразования позволяют для тяжелого твердого тела применить
методы, специфические для колебаний в существенно нелинейных автономных
системах. Некоторые из таких методов развиты в главах I, IV и VIII.
Насколько они окажутся эффективными для колебаний твердого тела, покажет
будущее. Остановимся в заключение на том методе, который приводит, на наш
взгляд, к эффективным результатам.
1.7. Ситуация, близкая к случаю Ковалевской. В рамках сделанного в этом
параграфе предположения рассмотрим ситуацию, когда центр тяжести G тела
лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для закрепленной
точки О, являющегося эллипсоидом вращения. Итак, предположим,
А = В С, уд = z'g = 0, Xq = OG 0.
Рассматриваемая ситуация включает в себя и случай Ковалевской (С = V гА).
5 1] ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ 209
Уравнения (1.1) при а = 1, ? = 1, ? = 0 примут вид
"-_(1-о<>л, ".=_/+(с-1)лр, % =
* = Дт'-9/, ^ = Р/-Лт, ^-ет-яу. <7Л>
Три первых интеграла: тривиальный, кинетического момента относительно
вертикали Ozx и энергии запишутся в виде
V2 + V'2 + V"2 = 1. + Qi + oRi = к (к = ± KZiy (7.2)
Р2 + Q* + cR2 _ 2V = . (7.3)
Намереваясь изучать колебания около нижнего положения равновесия (у = 1,
у' = у" = 0), разрешим два первых интеграла относительно у и Р:
Т= + уч - V'* - г, р = у7!г'~Д!,' • <7-"
Последние выражения являются аналитическими функциями переменных при
условии
у'2 + у^<1, (7.5)
т. е. до тех пор, пока центр тяжести G не достигнет горизонтальной
плоскости, проходящей через точку О. Допустим, что центр тяжести тела
достигает указанной горизонтальной плоскости с нулевой угловой скоростью,
т. е.
P=Q = R = y = 0, у'2 + у"2 = 1.
Для этого движения постоянная h в интеграле (7.3) равна нулю и для него
же имеем в начальный момент в силу (7.3)
Р2 (0) + Q2 (0) + cR2 (0) - 2у (0) = 0.
Следовательно, если в начальный момент
Р2(0) + <?2 (0) + с R2 (0) - 2у(0) < 0, (7.6)
то и во все время движения центр тяжести не достигнет указанной
горизонтальной плоскости, т. е. выполнено условие аналитичности (7.5).
210
КОЛЕБАНИЯ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. IX
Подставив (7.4) в (7.1), получим систему четвертого порядка
dQ
dt
к - Qy' - cRy" /!-V'2-V"2 '
dR 1 ,
dx с ^
.."2
dy_ k - Qy' - cRy" _ я yr/( _v,2
d* /i_v<2_v"2
= qV\ - -у,л - ik~Qy' ~cRY
(7.7)
Yi-Y'-r* '
аналитическую при условии (7.6).
Характеристическое уравнение для линейной части системы
(7.7) есть
^ + (i + 4- + *2)^ + v+1vlA:2=0-
При с < 1 корни этого уравнения чисто мнимые и различные. Пусть с 1;
тогда при условии
(7.8)
появляется один положительный корень. Заметим, что граница
(7.8) неустойчивости в большом нижнего положения равновесия сколь угодно
велика для толстого диска (с = 1 + е, е 0) и сколь угодно мала для
тонкого диска ("блина", с 1).
Выясним совместность условия (7.8) - неустойчивости в большом и (7.6) -
аналитичности, имея в виду, что в силу (7.2)
к = Р (0) V (0) + Q (0) у' (0) + cR (0) у" (0).
Пусть движение начинается из состояния равновесия, т. е.
у(0) =1, у' (0) =v'(0) = 0.
Тогда к = Р (0) и условия (7.8) и (7.6) запишутся в виде неравенств
т^-Г < Р* (0) < 2 - <?2 (0) - Я2 (0),
(7.9)
которые совместны лишь при с 3/а.
1.8. Применение метода последовательных приближений. Представим систему
уравнений (7.7) в векторном виде:
Q
dx
- Ах - f (х), х -
dX v '
А =
0 (с-1)* 0 - 1
0 0 1 с 0
0 - 1 0 к
1 0 - к 0
, (8.1)
где f (х) - вектор-функция, составленная из нелинейных членов. Примем за
