Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Q-з = (1, О, О, 1, -1, 1), Q3 = (О, 1, 1, О, 1, -1);
Я, + 2р = 1: Q-! = (-1, 0, 2, О, 1, 0), Qi = (О, -1, 0, 2, О, 1), Q_2 =
(1, 0, -1, 1, 0, 1), Q2 = (0, 1, 1, -1, 1, 0),
Q-з = (1. о, 0, 2, -1, 0), Q3 = (О, 1, 2, О, О, -1);
2р - % = 1: Q_, = (-1, 0, 2, О, 0, 1), Qi = (О, -1, 0, 2, 1, 0), Q-2 =
(1, 0, -1, 1, 1, 0), Q2 = (0, 1, 1, -1, 0, 1),
Q-з = (О, 1, 2, О, -1, 0), Q3 = (1, О, 0, 2, О, -1).
Возникающие резонансы представлены ниже на рис. 17 для г = 2 и на рис. 18
для г = 3.
4.2. Нормальные формы. Если в уравнениях (1.5). ограничиться членами до
третьей степени включительно, то основная теорема А. Д. Брюно (п. V, 1.2)
приведет к следующим нормальным формам:
а) При отсутствии резонансов, т. е. при
^ 2 ' 3 ' 2 ' 3 ' p ^ 2 ' 3 '
Я+Р=^1, 2Я,+ р=^1, 2р±Я=т^1
7 В. М. Старжинский
194 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
(общий случай, т. е. для к, р из (1.2), не принадлежащих прямым рис. 17 и
18),
• = к^у, + gly,y~xyx + gly^-гУз + gty^-зУз
(v = =F1.=F2,=F3). (2.1)
б) Для резонансов, возникающих из полутривиальных решений (1.9) -
(1.11)! уравнения (1.6), в каждое из уравнений (2.1)
добавится справа по Одному члену, соответственно
Ун 1
= ~2~ : 0, 0, f-зУ-з, /гУз, f-зУ-зУз, ]зУзУ-з\
к = -jj- : e-i2/-3, ехУз, 0, 0, е-зУ-хУз, взУгУ-з',
1
р = -тр: д,_хУ-г, Лхуг, <1_зу_хУз, йзУхУ-з, 0" 0;
А = -А ; 0,0, C^ylз, С2у33, С_зУ-ъу1, С3угуг_з\ к = Ь-]Аз, Мз, ь-зУ-ху1,
ЬзУхУ-з;
-р = А: а-ху\, Оху\, а-зУ-хУз, <НУху\, 0, 0.
в) Для резонансов, возникающих из нетривиальных решений (1.12)
уравнения (1.6), в каждое из уравнений (2.1) добавится справа по одному
члену, соответственно
к + р = 1: Ь-хУ-зУ-з, Ь,хУгуз, к^у^Уз' ^УхУ-з> h-sУ-хУъ КУхУ-з>
2А, р = 1: i-хУ-зУ-з, ^хУзУз^ i-зУ-хУз' ЦУхУ-з' i-зУ-хУгУз' 1зУ\УзУ-з''
СИСТЕМЫ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
195
^ "Ь 2ц - 1: 7-iJ/ 2J/ 3> ]{У2Уз< i-iV-iViVa' 1гУ1У-2У-Э' 7-3j/ iJ/2>
/3У1У-2"
2ц - Я = 1: к^у12у3, kxyty-3, к^у^у2у^3, Ку^у^у^ к-3у{у\, к3у_1У\.
Замечания. Для значений Яиц, принадлежащих двум и более резонансам (точки
пересечения прямых совокупности рис. 17 и 18), в уравнениях (2.1)
происходит суперпозиция двух и более дополнительных членов.
В вещественном случае j/_v = (v = =F 1, =ц2, =цЗ) и достаточно было бы
выписывать нормальные формы только для v = = 1, 2, 3 (или только для v =
- 1, -2, -3). Здесь же имеется в виду и случай, когда в исходной системе
уравнений (1.1) переменные не являются комплексно-сопряженными.
4.3. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования и нормальных
форм. Нормализующее преобразование (1.4) переводит систему (1.1) в общем
случае а) п. 4.2 в нормальную форму (2.1); в резонансных случаях б) и в)
п. 4.2 в (2.1) появляются дополнительные члены. Представив нормальную
форму в сим-метризованном виде (V,3,1.За), придем к основным тождествам
(V,3,1.6). Далее будем следовать альтернативе п. V.3.2.
Исключим резонансы, возникающие для квадратичных членов (п. 4.1), т. е.
допустим, что
к + (3.1)
(см. также (1.2)). Тогда Я" Ф Я; + Ят (v, I, т. = +1, +2, +3) и для
квадратичных коэффициентов нормализующего преобразования справедлива
формула (V,3,2.2)
alm - ^ ^^ (v, I, ТП = -f- 1, -f- 2, -j- 3) (3.2)
с ограничениями, указанными в (3.1). к 1
При - = -у (случай б) п. 4.2) имеем, что К = Яг + Ят тогда и
только тогда, когда v, I, пг = -2, -3, -3; 2, 3, 3; -3, {-2, 3}; 3, {2, -
3}. Выберем
"-2 "2 -з з
u-3-3l u33> {-23}" а{2-3}
любыми (предпочтительнее определенными по непрерывности из к 1
формулы (3.2) при -->- , если это возможно, или нулями).
Для остальных а 1т справедлива формула (3.2). Коэффициенты к 1
появляющихся при - = - квадратичных членов (см. б), п. 4.2) г ^
196 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
определяются по формулам (V, 3, 2.4)
# -2 -2 # 2 2
7-2 - Ф-з-з - Д-з-з> J2 - фзз - Я33,
/-з = 2ф_гз = 2а_23, /з = 2ф2_3 = 2а|_3.
Аналогично, при Я = -^ выберем
-1 1 "3 3
а-3-3" а33) а-13" а1-3
любыми и определим
e_i = Я-з-з" ei ~ азз" е-з = 2а_1з, е3 = 2aj_3; при ц = выберем
-11-2 2 а_2-2, 022" а{-12}" 0(1-2}
любыми и определим
d_i = а_2-2, di - (r)22> - 2а_12, = 2а1_2,
и при Я + ц = 1 выберем
-1 1 ~2 2 -3 3
°{-2-3}" °{23}" а{-13}" 0(1-3}" а{-12}" а{1-2}
любыми и определим
h-i - 2а_2_з, fh. - 2ягз" ^-2 = 2а_1з,
= 2&i_3, = 2fz_.|2" 7&з = 2 о.
Перейдем теперь к кубическим членам, и прежде всего исключим возникающие
здесь резонансы, т. е. допустим, что
Ф у; Я,ц^=у; 2Я + ЦтЫ; 2ц4;Я^1. (3.3)
Выделим значения v, I, т, р, при которых Я" = Яг + Ят + Яр, это будут
v, I, тп, р = v, {I, -I, v} (v, I = +1, +2, +3), (3.4)
и положим
РЬ-12) = 0 (v, I = +1, 4=2, 4=3). (3.5)
Для остальных значений v, 1,т,р справедлива формула (V,3,
2.3), т. е.
Р("пр =
blmp ~1 g- ((r)ijOmp ~Ь
J=+l. +2, 4 3
2 } , v j
-|- Q'mj&pl -|- OjpO;m)
(v, Z,m,p = + l, + 2, + 3; l,m, p ^{l, - l,v}) (3.6)
§ 4] СИСТЕМЫ ШЕСТОГО ПОРЯДКА 197
с ограничениями, указанными в (3.3). Для коэффициентов при членах третьей
степени в (2.1), соответствующих выделенным в (3.4) значениям индексов,
