Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
будем иметь при условиях (3.1) по формуле (V,3,2.6)
gU = = 3C-v + 2 2 (2<z^-ai_v + a-vjaJv)
/=Т1, =F2, +з
(v = + l, + 2, + 3),
gh = 6 tih-h. = Sblh-h + 4 2 (a^h-h + ahj*-hv + alhja{h) (3.7)
j
(v = -f-1, -f- 2, -)- 3; /i = l,2,3; h ^ | v |).
XI 1
При - = -p; X, p = -p, X + p = 1 надлежит воспользоваться
[Д< Ji it
формулами (V,3,2.5).
Остается рассмотреть случаи, исключенные в (3.3). При X. 1
-- = -р, дополнительно к (3.4), Xv = Хг + Хт + Хр при
|Д> и
v, I, тп, р = -2, -3, -3, -3; 2, 3, 3, 3;
-3, {-2, 3, 3}; 3, {2, -3, -3},
и мы выберем
Р-2 о 2 д-!3 оЗ
-3-3-3" Рззз" Р {-233}" Р{2-3-3}
любыми (предпочтительнее определенными по непрерывности из % 1
формулы (3.6) при > -д-, если это возможно, или нулями). Коэф-
^ XI
фициенты появляющихся при - = - кубических членов (см. б),
п. 4.2) определятся, вообще говоря, формулами (V,3,2.5) (одна-
1 3
ко, если при этом р = - , то формулами (V,3,2.6), так как
выполнено (3.1) и в нормальной форме отсутствуют квадратичные члены).
Именно,
с-2 = Х-3-3-3, с2 : %333" С-3 - Зх-233, С3 = 3%2-3-3'
Аналогично, при X = V3 выберем
Р-3-3-3" РзЗЗ, Р{-133}, P(i-з-з) любыми и определим
Ъ-1 = Х-з-з-з, bi = Хззз, b-з - ЗХ-1зз, Ьз = Зх^з-з
< 1 2 \ 12 по формулам (V,3,2.6) ^р -ф -, - j , а при Р = "-г > "3 п0
формулам (У,3,2.5).
198 НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
При р = V3 выберем
Р-1 о 1 о-2 д2
-2-2-2" Р222) Р-122) Pl-2-2
любыми и определим
а-1 - Х-2-2-2" Я1 = Х222) Я_2 = ЗХ-122" Я2 = 3Xl-2-2
по формулам (V,3,2.6) (X Ф 1/6), а при X = V6 - по формулам (V,3,2.5).
При 2Х + р = 1 выберем
Q~1 о 1 о-2 д2 п-3 дЗ
Р {-2-3-3}) Р{233}) Pl-133}) Р{1-3-3}) Р{-Ш|) Р{1-2-3}
любыми и определим
i-i = Зх-2-з-3) Н = ЗХгзз" *-а = 3/-1зз,
Н = 3Xl-S-3) *-3 = ^Х-123) Н = 6х?-2-з
по формулам (V,3,2.6) (X Ф V4), а при X = V4 - по формулам (V,3,2.5).
При X + 2р = 1 выберем
д-1 д1 д-2 д2 д-3 дЗ
Pi-2-2-3}) Pj223}" Р{-123}" Р{1-2-3}) Р{-122}) Р{1-2-2}
любыми и определим
7-1 = ЗХ-2-а-3" Н = 3X223 , 7-2 = бХ-123) к - ^Xl-2-З) 7-3 = ЗХ-122 >
7з = ^Х1-2-2
по формулам (V,3,2.6) (X Ф V4), а при X = V4 - по формулам (V,3,2.5).
Наконец, при 2р - X = 1 выберем
любыми и определим
к-1 = ЗХ-2-23) ki = ЗХ22-З" k-2 = 6 X-12-3"
&2 = 6Xl-23) fc-3 - 3Xl-2-2, к3 = ЗХ-122
/ 1 1 \ 11
по формулам (V,3,2.6) (X=^-g- , -], а приХ = -д- ,-g формулами (V,3,2.5).
Всюду здесь в ситуации выбора p;vmp предпочтительнее их определять по
непрерывности из формулы (3.6) (если это возможно), или полагать их
нулями.
4.4. Об устойчивости по третьему приближению. Критерий А. М. Молчанова.
Рассмотрим общий случай а) п. 4.2 в предположении вещественности исходной
системы (1.1). Последнее
СИСТЕМЫ ШЕСТОГО ПОРЯДКА
означает, что в системе (2.1) не только но и
У-к = Ук> 8т = 8т {к, г = 1, 2, 3).
Умножая уравнения (2.1) на y_v и складывая их попарно, придем к
вещественной системе уравнений , з
(Л: = 1, 2,3), (4.1)
а-1
где
Чк = | Ун |2 > О, Еы = -2 Re g\ (к, а = 1, 2, 3). (4.2)
Система (4.1) исследована А. М. Молчановым [2986] для произвольного к 2.
Случай к = 2 изложен в п. 1.4. Обратимся к случаю к = 3, следуя [2986].
Если положить в (4.1) все переменные rja, кроме одного, равными нулю, то
получим необходимые условия устойчивости тривиального решения
вещественной системы (1.1) в общем случае
Екк> 0 (к = 1, 2, 3).
Положительная определенность матрицы |-г №*+#*)[
является достаточным условием устойчивости. В этом легко убедиться,
складывая все уравнения (4.1).
Перейдем к необходимым и достаточным условиям устойчивости тривиального
решения системы (4.1). Поскольку переменные T]i, 'Пг" 'Пз неотрицательны,
то вопрос сводится к устойчивости в конусе % 0 (к = 1, 2, 3).
Инвариантными лучами системы
(4.1) называются решения вида % = т$т] (?). Подставляя эти вы-
ражения в (4.1), имеем
-п(О) = 1, (4.3)
Ч?Г 2 - е] = 0 (А = 1,2,3). (4.4)
L<x=*i J
Здесь Е - параметр, аналогичный собственному значению в линейных
системах, знак которого, как видно из (4.4), определяет устойчивость.
Для отыскания инвариантных лучей системы (4.1) оставим в каждом из
уравнений (4.4) только второй множитель и придем к основной системе
линейных уравнений
ЪЕкЛ = Е (к= 1,2,3). (4.5)
а=1
200
НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 4-ГО И 6-ГО ПОРЯДКА [ГЛ. VIII
Если матрица
||^|? (4.6)
неособая, то при любом значении параметра Е система (4.5) имеет
единственное решение. Эти решения заполняют инвариантную прямую,
состоящую из устойчивого (Е > 0) и неустойчивого (Е < 0) лучей. Если
матрица (4.6) особая, то решение, определенное с точностью до
пропорциональности, существует только при Е = 0 - нейтральная
инвариантная прямая. Все решения нелинейной алгебраической системы (4.4)
можно получить, оставляя в каждом из уравнений первый либо второй
множитель. Всего получается восемь решений, включая разобранное выше и
тождественное % = т]2 = Лз = 0- Эта процедура соответствует независимому
изучению системы (4.1) на каждой из трех граней конуса % > 0 (к = 1, 2,
3).
Критерий А. М. Молчанова [2986]. Для того чтобы тривиальное решение
