Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
ф;"...,-к + (K\ + ••• + - K) a7v -ik +
+ + ... + = Bh-h'
Здесь те из величин
(14 = v = l,...,rc),
у которых один из нижних индексов (/р - 1) обращается в нуль,
равны нулю.
Система уравнений (7.6) решается шаг за шагом, начиная с последнего х)
уравнения. При этом на каждом шаге имеет место следующая вычислительная
альтернатива.
1) Допустим, что значения Ху ,. . ., Ху и п таковы, что круглая скобка в
последнем уравнении (7.6) отлична от нуля. Заметим, что при сделанном
допущении ф", .. ^ = 0. Действительно, обращаясь к представлению (7.3),
запишем соответствующий член в тождествах (7.5) в виде
Уг&\..*кУ^ - У)кУп-
Для этого члена (Л, Q) = Ху -1 + . . . + Х^-1 + Хп-(-1) Ф 0, а согласно
представлению (7.2) в нормальную форму (7.3) входят только те'члены, для
которых (Л, Q) = 0. Итак, из последнего уравнения (7.6) будем иметь
+¦¦¦
(<-!• " °>' <7-7>
2) Допустим, что значения Ху , . . . , Xyfc и Хп таковы, что круглая
скобка в последнем уравнении (7.6) равна нулю. Это означает, во-первых,
что величина а"... jk может быть выбрана любой, в частности, равной нулю
или определенной по непрерывности
1) А при записи А. Д. Брюно (см. сноску к стр. 118) - начиная с первого
уравнения,
§ з] практический Способ вычисления 121
по значениям реальных параметров. Во-вторых, последнее уравнение (3.6)
даст нам теперь формулу для ф*...^:
= Bh-h ~ <7-8)
Переходя к предпоследнему уравнению (7.6), будем следовать этой же
альтернативе:
~П-1 1 I D"-l I а
h-h ~ + + Xjk - Vi '' Sl'",k n~1h"'ik
+ ••• + lV1^' C')) = (7'9)
если ... + Xjk - Xn-i =^=0 и
- + - + 8ik"Voniril- ~ любое' (7Л°)
если + . . . + hk - K-i - °-
Решения последующих уравнений (7.6) от (n-2)-го до первого получаются из
(7.9) и (7.10) заменой п последовательно на п - 1, п - 2 ,, . . , 2.
Глава VI
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ ПО ЛИНЕЙНОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
Прежде всего выделяется тот класс задач, в котором нормальная форма имеет
самый простой вид, доставляемый теоремой Пуанкаре (п. V,1.3), и
представление решения задачи Коши в общем виде может быть осуществлено на
каждом шаге приближения в эффективном виде. Сюда относятся демпфированные
колебательные системы (асимптотически устойчивые по линейному
приближению) с аналитическими нелинейностями общего вида. Результаты
иллюстрируются в § 2 на примерах механических систем с одной и двумя
степенями свободы.
§ 1. Демпфированные колебательные системы
1.1. Приведение к диагональному виду. Рассмотрим механическую систему с
к степенями свободы, описываемую дифференциальными уравнениями х)
йх -|р 2ехих -|- (дхих =
= /х (^1 >• • >, ^/f) + фх (Йх , • . , И/f) (к = 1 ,. . ., к). (1.1)
Здесь /i и фх , . . ., ф/с - вещественные аналитические
функции своих переменных в некоторой окрестности нуля, разложения которых
Начинаются для Д ,. . ., Д с членов второго порядка, а для фх ,. . ., ф/с
- с членов не ниже второго порядка:
Ох > ех > 0 (и = 1 ,. . ., к).
Случай, когда для некоторых %' имеем ех- > сох- > 0, можно рассмотреть
отдельно.
Приведем линейную часть системы (1.1) к диагональному. виду, введя новые
переменные
xi - 1 (X-jW|j| - lijjj) (j - -j- 1,..., -f- к), (1-2)
__________________ lil
x) Можно в (1.1) справа вместо /м + <рх ввести Fx ("х, ..., ы/t, *1"
"*)•
§ 1]
ДЕМПФИРОВАННЫЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
123
где г =* У- 1,
Xj = - 8|Я + ЩЯ Sign / (/ = + 1,. . + к),
гх = + VOil - ех (х = 1 ,. . ., к).
Очевидно, что Х_х = Я,х, я_х = жх (отрицательные индексы введены для
удобства дальнейших вычислений), и
В новых переменных система (1.1) примет диагональный вид
1.2. Вычисление коэффициентов нормализующего преобразования, Поскольку
ХГ1 ,. . ., Хтк расположены в левой полуплоскости, то условие 2), п.
V,1.3 выполнено и остается лишь одно условие 1) теоремы Пуанкаре:
при любых целых неотрицательных рп. Это условие очевидно выполнено при .
. . = еА = е 0; при различных положительных б! ,. . ., гк будем считать
его выполненным.
Тогда, по теореме Пуанкаре п. V,1.3, существует единственное обратимое
аналитическое в окрестности нуля, нормализующее преобразование
(1.3)
(j 1- 1 к).
(2.1)
к
к
Я} = Уз+ S aiiyhyt+ 2 (2.2)
h,l=-k
h, г, m=>-к
переводящее систему (1.4) в систему
yj = hyj (/ = + !,•••, + *)•
(2.3)
.124 НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА В ОДНОМ СЛУЧАЕ [ГЛ. VI
Ограничимся вычислением квадратичных членов нормализующего
преобразования, для чего подставим (2.2) в (1.4):
к к.
У]+ S а1ч (Шт + У hill) + ••• = ЬУ) + h S амУкУ1 -
h,l=-lt .. . . h, I=-/с
- -;|Г.[/|Я (x^-1+• • •' 4"^-*y^)+
+ Ф|з| ^"(X-iy^i + Xi!/i), • •., -^-(Х-зсУ-зс + Хлг/л)^
(/ = -j-1> • • •> + &)•
В силу (2.3) получим отсюда тождества
'к
S (К + Xj - Xj) ^ыУьУт + ••• =
h, г=-к
^ h, 1=1
+ -4" ^ 'зц Д ) (Х-лУ-л + Хгг/г) (Х-1У-1 + Хгг/г^ + ...
(/. = + 1> • • •" + ^)i
где индекс нуль означает, что все аргументы положены равными нулю, а
точками обозначены члены выше второго порядка, Для коэффициентов при
квадратичных членах разложения (2.2) имеем
