Физика полностью ионизованного газа - Спитцер Л.
Скачать (прямая ссылка):
Из уравнения (2.4) и аналогичного уравнения для электронов можно получить уравнения для макроскопических величин .V и j. Для газа, состоящего лишь из электронов и положительных ионов одного типа, эти величины определяются равенствами
V = у (HiInlV, + nemeve), j =^iniZvi- neve\
(2.8)
(2.9)
где р — плотность массы, т. е.
p = nimi-\-neme.
(2.10)
Макроскопические свойства плазмы
51
При изучении поведения плазмы можно использовать либо макроскопические уравнения для скоростей ионов V2- и электронов ve, либо, напротив, уравнения ДЛЯ V и j. Достоинство первого способа состоит в том, что он позволяет просто и ясно получить картину движения в тех идеализованных случаях, когда или электроны, или ионы неподвижны. Однако в более общих случаях использование \е и V1- становится до некоторой степени неудобным, поскольку плотность тока j, вызывающего возникновение полей E и В, приходится вычислять отдельно с помощью формулы (2.9). Чтобы сделать изложение предмета по возможности единообразным, мы будем повсюду в настоящей книге пользоваться уравнениями для
VHj.
Точные уравнения для v и j, рассмотренные Шлю-тером [10] и Люстом [7J, довольно сложны. Так как, однако, ни для одного из разбираемых ниже вопросов физики плазмы не потребуются эти полные уравнения, мы упростим исследование, сделав три основных допущения:
1. Все члены, квадратичные по v, j и их производным, считаются пренебрежимо малыми, благодаря чему линеаризуются все уравнения.
2. Предполагается электрическая нейтральность, т. е. riiZ = ne. В тех случаях, когда в плазме может существовать электрическое поле, отклонения от электронейтральности нужно учитывать в уравнении Пуассона (2.16); в динамических же уравнениях для j и V ими можно пренебречь.
3. Тензор напряжения заменяется скалярным давлением в соответствии с уравнением (2.7).
Складывая n</n*(dVf/<W) и neme(dve/dt), получаем обычное линеаризованное уравнение движения
р 4г=і х в—~pv<p- (2Л1)
Члены взаимодействия Pez и Pie взаимно уничтожились в силу третьего закона Ньютона. Вычитая
52
Глава 2
ne(dve/dt) из niZ(dvi/dt), находим l=E + ,xB_,J +
-f -щ [mtVp, — ZmJlpi — (mt — Zme) j X BJ. (2.12)
В это выражение гравитационная сила не вошла.
При выводе уравнения (2.12) мы предположили,
что
= (2-13)
где т] — соответствующий коэффициент пропорциональности. Естественно считать, что импульс, которым обменялись электроны и ионы, должен быть пропорционален относительной скорости этих двух типов частиц. Так как сечения столкновений зависят от скорости, то величина P«.j будет включать в себя и члены, пропорциональные VT и BX V Т; эти термоэлектрические члены учитываются в гл. 5, однако они опущены в уравнении (2.12), поскольку влияние термоэлектрических эффектов на динамику плазмы пока еще, по существу, не исследовано.
Если dl/dt, В, Spe и Vpi исчезающе малы, то уравнение (2.12) сводится к закону Ома, в котором т] равно электрическому сопротивлению. В связи с этим уравнение (2.12) мы можем рассматривать как обобщенный закон Ома. Как мы увидим в гл. 5, § 4, сопротивление Ti для токов, перпендикулярных к силь» ному магнитному полю, примерно вдвое больше, чем для токов, параллельных В (или при отсутствии В). Поэтому, строго говоря, член rij следовало бы разло» жить на его компоненты TjjZ1 и TfjlJyll, перпендикулярную и параллельную полю В соответственно. Однако в первом приближении можно считать, что сопротивление г) изотропно. Когда в плазме имеется несколько сортов ионов, обобщенный закон Ома становится более сложным и для определения относительных скоростей обоих сортов ионов должны быть добавлены другие уравнения.
Макроскопические свойства плазмы
S3
Уравнения (2.11) и (2.12) следует дополнить уравнениями непрерывности, выражающими законы сохранения массы и электрического заряда. Согласно общему уравнению непрерывности (П.8), выведенному в приложении, можно написать
(PV) = O, (2.14)
-S- + V-j = 0, (2.15)
где а — плотность заряда в единицах CGSM. Подставляя в эти формулы выражения (2.8) и (2.9), можно получить отдельно уравнения для dne/dt и dtii/dt.
Наконец, систему основных уравнений дополняют уравнения Максвелла для электромагнитного поля. Записанные в электромагнитных единицах эти уравнения имеют вид:
V-E = 4 Itc2O = 4izee (H1Z — пе), (2.16)
V-B = O, (2.17)
VXE = --. (2.18)
VxB = 4--f- + 4,tJ- (2Л9)
Уравнение непрерывности (2.15) можно вывести непосредственно из уравнений (2.16) и (2.19).
Возможно, покажется несколько необычным использование VxB вместо VxH в уравнении (2.19). Поскольку плазма является средой диамагнитной, предпочтительно основным вектором считать В,чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что магнитное поле в газе может отличаться от поля, создаваемого внешними токами. Однако вместо введения для плазмы магнитной проницаемости целесообразней в уравнении (2.19) в явном виде учитывать все токи в плазме. Тогда различие между В и H исчезает, и в левой части уравнения (2.19) законно писать VxB. При
