Небесная механика - Смарт У.М.
Скачать (прямая ссылка):
ф0 = 0. Мы теперь имеем
Ф« = а/+М*. (1)
Согласно формуле (8) § 20.13,
«.“«о + ct\ (2)
Следовательно, 0О — наклонность неподвижной эклиптики к среднему экватору
в эпоху t0.
Величина фт— лунно-солнечная прецессия и 8т — соответствующая ей
наклонность.
В формулах (1) и (2) Ъ и с—величины очень малые по сравнению с а. Их
значения приводятся в § 20.19.
§ 20.15. Общая прецессия
На рис. 32 изображена эклиптика в момент t0 и в момент t.
а также средний экватор в момент t. Для удобства мы временно
опустим значок т при ф и 6. Мы имеем
ЛуУ = ф, lmANE = %, ?ЛМЛ7, = /, Jf04»Q.
Пусть, далее, NN1 = \, ?mAN1E = b' и Л'0?) = ф/, где D — основание
перпендикуляра, опущенного из на большой круг NA. Угол <|/ называется
общей прецессией.
Согласно формулам (17) и (18) § 20.12,
/э1п2 = ?* + Л*2. (1)
/ cos 2 = gxt + А ,*2, (2)
где /, g и gl рассматриваются как малые величины первого порядка, а А и
А] — как малые второго порядка.
§ 20.15. Общая прецессия
471
1. По формуле косинусов для полярного треугольника мы имеем
cos 0' = cos 0 cos I — sin 0 sin / cos (2 -f- ф).
Пусть 0' = 0 —)— Д0. Тогда с точностью до членов второго порядка
включительно
Д0 sinfj + у (Д0)2 cos 0 = / sin 0 cos (2 + ф) -j- -j I2 cos 0.
В первом приближении
Д0 = / cos (Q + ф). (3)
Поэтому с точностью до членов второго порядка
A0 = /cos(2-|-^)-|--^-ctg0sin2(2-|- ф). (4)
В первом члене этого равенства вместо ф можно подставить at, а во втором
члене 0 заменить через 0О и положить ф = 0 (вспомним,
что согласно (1) § 20.14 ф s фт = а/-|-W2). Тогда при помощи
равенств (1) и (2) формулу (4) приведем к виду
Д0 = ^ + (а1 — ag + ^g2c\gb^fi. (5)
Кроме того, согласно формуле (2) § 20.14,
0 = 0/п =
Поэтому мы можем написать
0^00+Qf+Qif2. (6)
где
Q = gv Qi — c + ^ — ag + Yg2^^. (7)
2. В треугольнике MVjD
NN1 = X, ND = ф — ф'.
Поэтому
tg (ф — ф') = tg X cos 0.
Далее, ф — ф' и X — малые углы и, следовательно, если мы пренебрежем
величинами (ф — ф')3 и X3, то получим
ф — ф' = X cos 0 = sin X cos 0о, (8)
где можно заменить 0 на 0О (мы видели, что постоянная с является
очень малой величиной).
Из треугольника NANV в котором ЛМ = 2-|-ф, мы имеем
_ sin/sln(Q-J^) /пч
SinA SiiTF • (9>
472
Глава 20. Прецессия и нутация
В этом равенстве достаточно в разложении sin O' учесть только чле-
ны первого порядка. Воспользовавшись (3), найдем
sin 0' = sin 0 [1 —|— ctg 0о • / cos (2 + ф)]. (10)
Поэтому из формул (8) — (10), заменяя 0 в формуле (10) на 0О, мы
получаем
ф — ф' = / sin (2 + <|>) ctg 0о — /2 sin (2 -f- <|0 cos (2 + ф) ctg2 60.
(1 1)
С точностью до членов второго порядка малости первое слагаемое, если в
нем положить ф = а?, принимает вид
(gt+ht2-\- agxt2) ctg 0„.
Второе слагаемое имеет второй порядок и при ф = 0 равно — ggi^ctg2 6о-
Поэтому, если заменить ф = фт на at-\-bt2, то равенство (11) примет вид
ф' = Я*+/у2, (12)
где
Р — а— gctg.60, (13)
P\ — b — (А + agx) ctg 0О + ggx ctg2 0О. (14)
Теперь напишем фт вместо <|/ и б'т, вместо в', отмечая, что фт и b'm
относятся к среднему экватору и эклиптике, соответствующей моменту t.
Тогда из формул (12) и (6) мы имеем
«5>
9» = 8о+«< + ОЛ <<6)
где Р и Рх выражаются формулами (13) и (14), a Q и Qi—формулами (7).
Здесь ф^— общая прецессия и В'т — соответствующая ей наклонность.
§ 20.16. Прецессия от планет
В этом параграфе мы выведем зависимость от времени. Как и раньше, мы
сохраним члены до второго порядка малости включительно.
Согласно формуле (8) § 20.15,
X = (ф — ф') sec в = (ф—<|/)sec0o. (1)
Выражение для ф— <|/ дается формулой (11) § 20.15, первый и второй член
которой уже были найдены. Поэтому формула (1) примет вид
= (gt + ht2 + agjt2) cosec 0O — ggxt2 ctg 0o cosec 0O,
§ 20.17. Прецессия по прямому восхождению
473
или
Х = Х'/ + Х"/2, (2)
где
X' == g cosec 0О, (3)
X" = (А + agx — ggx ctg 0О) cosec 0о; (4)
X — прецессия от. планет в экваторе.
Возмущения орбиты Земли, вызванные действием планет и имеющие отношение к
рассматриваемому вопросу, определяются величинами /sin2 и /cos2, т. е.
постоянными g, h и gxhx и временем /. Все постоянные, входящие в формулы
(3) и (4), можно вычислить и, следовательно, для любого момента t можно
рассчитать величину X.
§ 20.17. Прецессия по прямому восхождению и по склонению
На рис. 33 через X' и Nx обозначены соответственно узлы неподвижной
эклиптики и подвижной эклиптики NXAB в момент / относительно среднего
экватора в момент /. Пусть OX’, OY’, OZ'
Рис. 33.
суть оси, связанные со средним экватором, 5 — звезда и Z'ST — меридиан
этой звезды. Если пренебречь нутацией, то NXT будет прямым восхождением а
в момент /, TS — склонением 8. а и 8 суть средние экваториальные
координаты в момент /. Далее X'N2 есть прецессия от планет X. Поэтому
Л''7’ = а + Х.
Пусть 1Х, тх, пх\ /2, т2, п2 и /3, т3, п3 — направляющие косинусы осей
OX', OY', OZ' относительно ОХ0, OY0, OZQ. Тогда, согласно
31 У. Смарт
474
Глава 20. Прецессия и нутация
рис. 33,
Z, = cos<j», m1 — — sirnj), п, = 0;
Zjsrrsin^cose, /ю2 = cos ф cos 0, n2 = — sin 0;
