Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
струи:
^=^"1 = ^-Г-Ц--------------------га- (7-60>
ъхЛ
l(4+I5Т*Г
Относя осевую скорость (7.60) к её максимальному значению ка оси при той
же абсциссе х = 1х±, получим:
Vx - - -------- . (761)
3 Ко
и+Л-1кЛ\
У^\6г. v2 X'i)
Если в качестве условной границы струи принять поверхность, для которой
левая часть (7.61) равна 0,01, то уравнение этой поверхности будет
представляться в виде
ЗАТУХАНИЕ ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА В ПОТОКЕ
293
т. е. внешней границей рассматриваемой ламинарной струи будет конус, угол
раствора которого прямо пропорционален коэффициенту вязкости жидкости и
обратно пропорционален квадратному корню из.импульса струи.
Сопоставляя (7.30) и (7.58), мы видим, что расход в плоской струе зависит
от импульса струи, тогда как расход в пространственной струе от импульса
струи не зависит. На основании равенства (7.28) можно получить, что
условная граница плоской струи будет криволинейной, тогда как для
пространственной струи эта условная граница оказалась прямолинейной.
§ 8. Применение теории пограничного слоя к вопросу о затухании вращения
тела в потоке
Результаты теории пограничного слоя широко используются для подсчёта
сопротивления трения при поступательном движении тел в вязкой среде.
Однако эти результаты могут быть использованы также и при изучении
отдельных случаев вращательного движения тела при набегании на него
потока воздухаг). Чтобы это показать, рассмотрим предварительно
следующую. задачу.
Допустим, что пластинка, имеющая в направлении оси х ширину /, обдувается
потоком воздуха, скорость которого U на бесконечности параллельна оси х.
Сама же пластинка перемещается со скоростью V в положительном направлении
оси z, перпендикулярно к своей ширине (рис. 73). Сообщим пластинке и всем
частицам
воздуха скорость V в направлении, обратном движению пластинки. В таком
случае пластинка будет неподвижной, а частицы набегающего потока воздуха
будут иметь вектор скорости Uv численная величина которого будет равна
причём этот вектор скорости будет составлять с передним ребром пластинки
угол а, определяемый равенством
и
1ёа = Т-
1) С л ё з к и н Н. А., Затухание собственного вращения снаряда, ДАН
СССР, т. XXX, № 4> 194],
294
ТЕОРИЯ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
[гл. VIII
Если мы будем проводить плоскости, параллельные результирующей скорости
Ux, перпендикулярно к пластинке, то в каждой такой плоскости движение
воздуха будет одинаковым, и, следовательно, мы можем данный поток
рассматривать как плоско-параллельный. Иначе говоря, мы можем
Ограничиться рассмотрением движения воздуха только в одной плоскости,
проведённой через косой разрез АВ пластинки. При этом длина косого
разреза lL пластинки будет равна
il = -LVu* + v*.
Рассматриваем теперь в плоскости проведённого разреза пограничный слой.
Будем предполагать этот слой ламинарным. Если мы обозначим через xt
расстояние какой-либо точки на пластинке от её переднего края, то на
основании формул (2.22) и (2.15) толщина
слоя 8 и сила вязкости т равны
8 = 5,2|/"^, (8.1)
г = 0,332 (8.2)
Разложим вектор силы вязкости на две составляющие, параллельные осям х и
z. Составляющая, параллельная оси z, будет равна
т:, = •?-г = 0,3321^-f-Wj/" В-. (8.3)
Умножая обе части равенства (8.3) на dxt и интегрируя от нуля до lv
получим для силы трения, тормозящей движение пластинки в направлениии
оси z и приходящейся на единицу длины пла-
стинки в этом же направлении, выражение
Fz = 0,664^(1 +-^)V^7Z7. (8.4)
Вводя число Рейнольдса
UI
R =
и коэффициент сопротивления трения обеих сторон пластинки
п 1,328 гч
с, = ущ. (8.5)
полученную силу торможения движения пластинки (8.4) можем представить в
виде
F2 = ±Cf?U*l-?-(l+^f. (8.6)
Допустим, что вместо пластинки мы имеем круглый цилиндр длины / и радиуса
а, который вращается вокруг своей оси с угло-
ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ТЕЛЕ ВРАЩЕНИЯ
295
вой скоростью со и обдувается потоком воздуха с наружной стороны
поверхности цилиндра в направлении, параллельном оси цилиндра. Заменяя в
правой части (8.6) скорость через ша, получим силу торможения,
приходящуюся на единицу длины окружности
поперечного сечения. Умножая (8.6) на длину окружности 2тш и
радиус а, получим полный момент сил торможения вращения рассматриваемого
цилиндра
I = Crice"p/<Dt/(l (8.7)
Таким образом, момент сил трения, тормозящий вращение цилиндра, зависит
не только от угловой скорости вращения, но и от скорости набегающего
потока воздуха. Обозначим момент инерции цилиндра относительно его
продольной оси через J, тогда дифференциальное, уравнение вращения
представится в виде
J% = - сг(tm)*?1ши (1 + жГ • (8'8)
Если скорость набегающего потока будет известна как функция времени, то с
помощью численных расчётов можно определить степень затухания вращения
цилиндра, помещённого в потоке воздуха. Будем считать произведение ша
настолько малым по сравнению с U,
что можно пренебречь отношением по сравнению с единицей,
тогда из (8.7) получим:
Cfudt
ш = ш0е 0 (8.9)
где ш0 - начальная угловая скорость вращения.
