Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
непрерывность поля осреднённых скоростей будет обеспечиваться независимо
от размеров объёма осреднения непрерывным сдвигом центра объёма, но при
этом с увеличением размеров объёма осреднения могут, вообще говоря,
увеличиваться модули максимальных скоростей пульсаций и будут
увеличиваться размеры тех областей по-
МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ
45 i
тока, примыкающих к его границам, в которых осреднение с помощью этого
объёма проводить нельзя.
Во всех случаях по мере приближения к границам потока объёмы осреднения
должны уменьшаться для того, чтобы получать осреднённые величины для
точек вблизи границы.
Обратимся теперь к вопросу об осреднении с точки зрения возможностей
эксперимента. Во-первых, как бы малы ни были размеры приёмной части
прибора, с помощью которого определяется скорость или давление, всё равно
прибор регистрирует осреднённое значение этой величины, причём осреднение
этим прибором производится одновременно и по объёму и по времени. Во-
вторых, каждому данному прибору присущ свой фиксированный объём
осреднения, и его варьировать нельзя. Что же касается интервала времени
осреднения, то его можно варьировать в сторону больших интервалов
времени, превышающих время срабатывания одного измерения. Таким образом,
здесь представляется возможность определять пульсацию измеряемой величины
в виде разности показания одного измерения и вычисленного осреднённого за
некоторый интервал времени значения. Следовательно, в этом случае имеют
место два осреднения: одно из них проводится самим прибором по объёму и
времени, а второе проводится экспериментатором по времени по отношению к
показаниям прибора. При наличии двух приборов или двух приспособлений,
позволяющих без особых помех измерять скорость в двух точках, достаточно
близких друг от друга, можно составлять разности показаний приборов,
отнесённых к одному и тому же моменту времени. Эти разности можно
осреднять только по времени. Если обозначить мгновенные показания прибора
через V± и V2, осреднённые значения этих показаний - через Ut и U2, а
пульсации- через Vi и V%, то будем иметь:
U2(x + x', у+у', z + z', t) = V2,
V2{x + x', y+y', z + z', t + t') =
= U2+V'2(x + x', y+y', z+z', t + t'),
At
Vtix, y, z, t + t') = Ux + v[{x, y, z, t + t'), V[ = 0,
V2 - V1==?/2(* + *', y+y', z + z', ty - U^x, y, z, 0 +
+ v'2(x + x', y+y', z + z', t + t')-V[{x, y, z, t + t'). (2.45)
452
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
Если выполнить осреднение по времени обеих частей выражения (2.45) для
разности мгновенных показаний и учесть предшествующие равенства, то
получим:
V2- V\ = U2(x-\-xf, у-\-у', z-\-zr, t) - U1 (x, у, z, t). (2.46)
Таким образом, среднее значение разности измеренных скоростей в двух
близких точках области ч течения равно разности осреднённых по времени
измеренных скоростей в этих же точках.
На основании того, что сказано выше, можно придти к заключению, что
определение пульсаций скорости или давления во времени и проведение
осреднения измеряемых величин по времени сравнительно просто могут быть
осуществлены при экспериментировании, например, с помощью термоанемометра
с некоторыми приспособлениями. Что же касается пульсаций скорости или
давления в пространстве, то для их определения надо измерить скорость или
давление одновременно почти во всех точках внутри некоторого объёма, что
осуществить без искажения самого течения пока не представляется
возможным. В этом случае приходится довольствоваться одновременными
измерениями в небольшом числе точек, на основании которых можно найти
лишь приближённое значение осреднённой по объёму измеренной величины.
Составляя разность измеренной величины в какой-либо геометрической точке
и вычисленного осреднённого по объёму значения этой величины, можно
получить пульсацию рассматриваемой величины в пространстве.
То обстоятельство, что экспериментально проще проводить осреднение
измеряемых величин по времени, служит некоторым основанием к тому, чтобы
и в вычислениях ограничиваться только осреднением по времени. Во всех
последующих параграфах осреднение будет проводиться только по времени.
§ 3. Дифференциальные уравнения осреднённого движения жидкости
Как уже было указано в § 1, турбулентное движение жидкости
характеризуется неупорядоченностью траекторий отдельных частиц, наличием
пульсаций скоростей и давлений во времени и интенсивным обменом всеми
качествами между соседними областями течения. Всё это создаёт весьма
большие трудности для теоретического изучения закономерностей
турбулентного движения жидкости. Первая попытка теоретического подхода к
изучению турбулентного движения жидкости была предпринята О. Рейнольдсом
в цитированной выше работе. Им были установлены дифференциальные
уравнения осреднённого движения жидкости и введён в рассмотрение тензор
пульсационных напряжений.
§ 3] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ОСРЕДНЁН. ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ 453
В качестве исходной гипотезы принимаем, что и при турбулентном характере
движения среды дифференциальные уравнения переноса массы ((1.9) гл. II) и
