Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
соответственных величин, причём эти пульсации изменяются скачкообразно во
времени и в пространстве. С помощью операции осреднения поле, например,
вектора скорости истинного движения жидкости в некотором конечном объёме,
намного превышающем объём осреднения т, заменяется двойным полем,
составленным из поля вектора осреднённой скорости, занимающего весь
конечный объём, и из накладывающихся частично друг
МЕТОД ОСРЕДНЕНИЯ
447
на друга полей пульсаций вектора скорости в окрестности каждой
геометрической точки.
Ещё раз обратим внимание на то, что операция осреднения (2.25) может быть
проведена над теми величинами и соотношениями, которые могут быть
отнесены к каждой точке внутри объёма осреднения и к каждому моменту
времени внутри интервала времени осреднения.
Рассмотрим теперь разность двух векторов скоростей. Возможны два подхода
к определению этой разности. При первом подходе рассматриваются два
вектора скорости в двух точках фиксированного объёма осреднения и в два
момента времени внутри фиксированного интервала времени осреднения, но
при этом центр фиксированного объёма осреднения остаётся одним и тем же
(координаты х, у \\ z - одни и те же для двух векторов скоростей) и центр
фиксированного интервала времени осреднения остаётся тем же самым (момент
t берётся одним и тем же). Если в качестве первой точки четырёхмерного
пространства мы возьмём центр фиксированного четырёхмерного объёма
осреднения, а вторую точку в этом же фиксированном объёме возьмём с
относительными четырёхмерными координатами х', уz' и V, то разность
векторов скоростей представится в виде
V2 - Kt = V(x, у, z, t; x\ у', z', t.')- V(x, y, z, t; 0, 0, 0, 0).
(2.30)
Заменяя каждый из векторов (2.30) суммой вектора скорости U(x, у, z, t)
осреднённого движения и соответственного вектора скорости пульсационного
движения, получим:
К2 - V) = V (х, у, z, t; х', у', z', t') - V' (х, у, z, t; 0, 0, 0, 0),
(2.31)
т. е. разность скоростей истинного движения в двух точках четырёхмерного
пространства равна разности скоростей общего пульсационного движения в
фиксированном четырёхмерном объёме осреднения. Поскольку разность (2.31)
может относиться к каждой точке четырёхмерного объёма осреднения,
постольку можно провести осреднение этой разности в смысле (2.25).
Выполняя фактически осреднение над каждым отдельным слагаемым в левой и
правой части (2.31) только в смысле (2.25) и используя при этом (2.26) и
(2.27), получим:
V, - Vx = - V' (х, у, z, t; 0, 0, 0, 0). (2.32)
Таким образом, осреднённое строго в смысле (2.25) значение разности
скоростей в двух точках фиксированного четырёхмерного объёма осреднения
представляет собой с обратным знаком вектор скорости пульсаций в центре
объёма осреднения.
Обратимся ко второму способу определения разности двух векторов
скоростей. Вводим два фиксированных четырёхмерных объёма, центры которых
совпадают как раз с теми точками четырёхмерного пространства, к которым
относятся два рассматриваемых вектора скорости движения среды, и вводим
две системы координат с началами в этих центрах. Тогда разность (2.30)
представится в виде
V2 - Vi = V (х + х', у + у', г г', t+t'; 0, 0, 0,0)- V (х, у, z, t; 0, 0,
0, 0). (2.33)
Если заменить каждый из векторов в правой части (2.33) через сумму
соответственных векторов скоростей осреднённого и пульсационного
движений, то получим:
V2 - Vx - U(x -f x', у -f у', z-j-z', t-\-t') - U(x, y, z, t) +
+ V'(x + x', y+y', z -j-z', t-j-i'; 0, 0, 0, 0)- V' (x, y,z, t; 0,0,0,0).
(2.34)
448
турбулентное движение
[гл. XII
Таким образом, в этом случае разность скоростей истинного движения в двух
рассматриваемых точках четырёхмерного пространства не будет равна
разности скоростей пульсационных движений в окрестности этих точек.
Умножая обе части равенства (2.34) на элементарный объём четырёхмерного
пространства dt' dx' dy' dz' и проводя интегрирование по четырёхмерному
объёму с центром в точке х, у, z и t, получим:
+ V (х + х', у+у', z + z', t -f- t'; 0, 0, 0, 0)] dx' dy' dz' -
- U(x, у, г, t) - V' (x, у, z, t; 0, 0, 0, 0). (2.35)
Интеграл от скорости пульсаций в текущей точке формально не совпадает с
тем интегралом, который по определению осреднения обращается в нуль:
Поскольку левые части и последние слагаемые в правых частях равенств
(2.31) и (2.34) равны между собой, то получаем следующее соотношение
между векторами скоростей пульсаций в одной и той же точке четырёхмерного
пространства, но введённых двумя различными способами:
После проведения операции осреднения с помощью перекрывающихся объёмов
осреднения вектор скорости осреднённого движения можно полагать
дифференцируемым по всем переменным и поэтому
J dt". V' (х + х', у + у', z + z', t
+ х", у", г") dx" dy" dz" = 0.
(2.36)
V'(х, у, z, t; х', у', z', t') = U (х -f- х', у+у', z + z', t + t') +
+ V' (х + х', у + у' г + z', t + Г; 0, 0, 0, 0) - U(х, у, г, t).
(2.37)
U(x + x', у+у', z + z', t + t') - U(x, у, z, t) =
Для центра объёма осреднения должны выполняться равенства
