Динамика вязкой несжимаемой жидкости - Слёзкин Н.А.
Скачать (прямая ссылка):
от непрерывного отсчёта времени к счёту его через интервал времени At.
При таком выборе объёма i и интервала времени At осреднённые значения
кинематических и динамических характеристик движения среды будут
неизбежно претерпевать разрыв при переходе от одного центра объёма к
другому и от одного центра интервала времени к другому. Порядок величин
разрыва осреднённых значений будет находиться в прямой пропорциональности
от порядка величин фиксированного объёма т и фиксированного интервала
времени At. Следовательно, из восьми независимых аргументов, указанных,
например, в равенстве (2.28), только четыре: х', у', г' и V, во всех
случаях можно изменять непрерывно в тех пределах, которые
предопределяются выбором фиксированного объёма i и фиксированного
интервала времени At. Только по отношению этих аргументов можно ставить
вопрос о непрерывности и дифференцируемости отдельных слагаемых в
равенстве (2.26) и аналогичных равенствах для других кинематических и
динамических характеристик движения среды. Что же касается аргументов х,
у, z и t, то вопрос о том, можно ли этим переменным придавать непрерывные
значения или необходимо придавать только разрывные значения, решается в
зависимости от того, как осуществляется переход от одного фиксированного
объёма к прилежащему другому объёму и от одного фиксированного интервала
446
ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ. XII
к другому прилежащему или близкому интервалу времени. Если этот переход
по каким-либо основаниям должен происходить без какого-либо пересечения
нового объёма со старым и без какого-либо перекрытия нового интервала
времени со старым, то этим переменным придётся придавать только разрывные
значения. В этом случае нельзя говорить о непрерывности и
дифференцируемости отдельных слагаемых в равенстве (2.26) по отношению к
переменным х, у, z и t. По отношению к этим переменным можно составлять
только конечные разности кинематических и динамических характеристик
движения среды и интегрирование заменять суммированием в смысле теории
конечных разностей. Естественно поставить вопрос, можно ли привести
пример, когда переход от одного фиксированного объёма к другому
обязательно должен производиться без пересечения. Во всех тех случаях, в
которых возникает необходимость вводить в рассмотрение макроскопические
частицы среды, объёмы которых не могут уменьшаться беспредельно до нуля,
переход от объёма одной фиксированной частицы к объёму соседней частицы,
разумеется, не может происходить так, чтобы объём соседней частицы
налагался на объём рассматриваемой частицы. Чтобы вести речь о
макроскопической частице, сохраняющей в себе основные качества среды и
своей индивидуальности хотя бы в течение короткого интервала времени At,
конечно, необходимо за соседние частицы принимать только частицы, объёмы
которых не перекрывают объём рассматриваемой частицы. Таким образом, для
определения кинематических характеристик движения частицы (вихрь и тензор
скоростей деформаций) дифференцирование проекций вектора скорости должно
производиться только по относительным координатам х', у' и г'.
Но, как известно, для изучения ряда вопросов кинематики движения среды,
за исключением вопроса об ускорении частицы, можно не переходить на точку
зрения метода Лагранжа и оставаться постоянно на точке зрения метода
Эйлера, позволяющего изучать поле скоростей. При изучении поля скоростей
движения среды по методу Эйлера математическая операция осреднения,
например в смысле (2.25), вводится для того, чтобы произвести сглаживание
вводимых кинематических н динамических характеристик движения среды. При
турбулентном движении жидкости скорость и давление в каждой точке
пространства претерпевают скачкообразные изменения от одного момента
времени к другому и при переходе от одной точки поля к другой. Сама по
себе операция осреднения (2.25) позволяет только по скачкообразным
значениям вектора скорости в пределах фиксированного объёма т и
фиксированного интервала времени At получить некоторое значение вектора
скорости, которое мы относим к центру объёма и к центру интервала
времени. Эффект же сглаживания мы можем получить лишь тогда, когда эта
операция осреднения будет осуществляться при непрерывном сдвиге центров
фиксированного объёма т и фиксированного интервала времени At. В этом
случае каждый следующий фиксированный объём будет обязательно налагаться
на предшествующий в своей большей части и каждый следующий интервал
времени будет перекрывать не полностью предшествующий интервал времени.
Таким образом, математическая операция осреднения в данном случае
позволяет перейти от полей векторных и скалярных величин, скачкообразно
меняющихся во времени и в пространстве, к полям тех же величин, но
изменяющихся достаточно плавно во времени и в пространстве. Однако этот
переход должен компенсироваться введением в рассмотрение дополнительных
местных полей (с размерами фиксированного объёма осреднения) пульсаций
