Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Радиусы-векторы г, материальных точек системы являются функциями обобщенных координат:
П = П(Яі, ?2, , Яі)-
Следовательно,
дгі . , дгі . . . On .
*‘ = Гі = і^1+Ж<?2+---+^<?'’
т. е. обычные скорости Vi материальных точек системы являются линейными однородными функциями обобщенных скоростей дЛ, q2, ..., qf. Коэффициенты, входящие в эти функции, зависят, вообще говоря, от всех обобщенных координат механической системы.
§ 63] РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 207
Используя полученное выражение, для кинетической энергии системы находим
N f f
Emm = 1/2 S mi°i =1/г S 2 ЩкЧіЧк- (63.6)
?==1 i=l
Кинетическая энергия представляется квадратичной формой обобщенных скоростей Ці- Коэффициенты этой формы й;ь вообще говоря, зависят от обобщенных координат qx, q2, ...
В общем случае в сумму (63.6) входят члены с попарными произведениями различных обобщенных скоростей. По этой причине слагаемые указанной суммы, вообще говоря, не могут быть интерпретированы как кинетические энергии, приходящиеся на соответствующие степени свободы системы. Однако обобщенные координаты всегда можно выбрать так, чтобы такая интерпретация сделалась возможной. Действительно, в математике доказывается, что надлежащим выбором обобщенных координат квадратичную форму
(63.6) всегда можно привести к так называемому диагональному виду, т. е. к такому виду, в котором она содержит только квадратичные члены и не содержит членов с попарными произведениями обобщенных скоростей. При таком выборе обобщенных координат
f
EK,m = 1/sZa‘9!> (63.7)
»=1
где коэффициенты аг являются функциями обобщенных координат. Если возбуждена только одна і-я степень свободы, то сумма (63.7) сводится к одному слагаемому 1/2aiqj. Это слагаемое поэтому можно интерпретировать как кинетическую энергию, приходящуюся на i-io степень свободы. Таким образом, при указанном выборе обобщенных координат полная кинетическая энергия системы представляется в виде суммы кинетических энергий, приходящихся на отдельные степени свободы. Так, если за координатные оси выбрать главные оси вращения твердого тела, то его кинетическая энергия в любой момент времени может быть представлена в виде
Ект = y (х2 +y2 + z2) + ~ {ІАІ + l.f'/u + ІАІ),
где М — масса тела, х, у, г — прямоугольные координаты его центра масс, /,;, I, — моменты инерции тела относительно координатных осей, фх, ф;;, фг — угловые скорости вращения тела относительно тех же осей.
В дальнейшем при изложении теории теплоемкости предполагается, что обобщенные координаты выбраны так, что кинетическая энергия представляется выражением типа (63.7), т. е. в виде суммы квадратичных членов.
208
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА [ГЛ. V
8. Так как между частицами системы есть силовое взаимодействие, то при тепловом движении энергия каждой частицы быстро и беспорядочно меняется во времени. Беспорядочно меняются во времени и слагаемые суммы (63.7). В молекулярно-кинетической теории представляет большой интерес знание средних значений таких слагаемых. Основная теорема, применимая к классическим системам, состоит в том, что в состоянии теплового равновесия на каждую степень свободы приходится в среднем одна и та же кинетическая энергия. Это положение называется теоремой о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы. Его первоначальные доказательства для частных случаев были даны Максвеллом и Больцманом. Общее доказательство дается в статистической механике, однако оно выходит за рамки нашего курса, и мы ограничимся лишь замечанием, что в основе доказательства лежит предположение о применимости законов классической механики к атомно-молекулярным системам, а также одно общее предположение вероятностного характера (так называемая эргодиче-ская гипотеза), принять которое необходимо для согласования статистической физики с аксиоматической термодинамикой.
Средняя кинетическая энергия, приходящаяся при тепловом равновесии на одну степень свободы любой атомно-молекулярной системы, равна 1l2kT. В этом легко убедиться, если представить, что рассматриваемая система находится в тепловом контакте с одноатомным газом той же температуры. Так как для газа эта энергия равна 1l2kT, то по теореме о равномерном распределении то же будет и для любой степени свободы рассматриваемой системы.
Когда обобщенные координаты выбраны так, что в выражение
(63.6) входят также попарные произведения обобщенных скоростей, то говорить о распределении кинетической энергии по степеням свободы не имеет смысла. В этом случае теорема о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы обобщается. Так как Ект является однородной функцией обобщенных скоростей второй степени, то по теореме Эйлера
В статистической механике доказывается, что при термодинамическом равновесии средние значения всех слагаемых в левой части одинаковы. Это приводит к результату
являющемуся обобщением теоремы о равномерном распределении кинетической энергии по степеням свободы.
9. Если смешать два химически не реагирующих идеальных газа с одинаковыми температурами, то при этом средние кинети-
