Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
3. Итак, допустим, что поршень движется в цилиндре бесконечно медленно со скоростью с (рис. 48). Для простоты будем считать поршень идеально гладким, а отражение молекул от него — зеркальным. Пусть молекула подлетает к поршню со скоростью ©;. Относительно поршня ее скорость будет Vi отн = Vi — с. Нормальная составляющая относительной скорости равна (vt отн)* = Vix — с. Обозначим v\ отн скорость г'-й молекулы относительно поршня после отражения.
Касательная составляющая относительной скорости в результате отражения не изменится, а нормальная изменит знак, так что
(^(Отн)д:= (^/отн).* = Vlx ~Ь ?•
Обозначим далее v\ скорость молекулы относительно неподвижных стенок цилиндра после отражения. Ее нормальная составляющая равна v\x =
= (v'i о™)* + с = — vlx + 2с, а касательная составляющая такая же, что и у скорости ©г. В результате отражения от поршня кинетическая энергия молекулы получит приращение
Унт (— vix-\- 2с)2 — l/2mvu = — 2mcvix -f 2me2.
Слагаемым 2тс2 можно пренебречь, как величиной второго порядка малости по с. Обозначим nt число молекул в единице объема, скорости которых равны или, лучше, приблизительно равны vt. Число ударов таких молекул о поршень за время dt равно гг = Stii (vix — — с) dt, где 5 — площадь поршня. Здесь также можно пренебречь скоростью с, как величиной, бесконечно малой по сравнению с vix, т. е. положить Zi = StiiVixdt. В результате кинетическая энергия молекул рассматриваемой группы за время dt получит приращение
— 2mcvixZi = — 2tntiiVixSc dt = — Ъпп(6\х dV,
где dV — Scdt — приращение объема газа за то же время. Приращение кинетической энергии всего газа
dEmm = dU = — d V V 2тпріх.
Рис. 48.
222
МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВА
[ГЛ. V
Здесь суммирование ведется только по тем группам молекул, которые движутся по направлению к поршню. Если же суммировать по всем группам молекул, движущимся как к поршню, так и от него, то сумму надо разделить пополам. При таком понимании суммирования
dU = — dV 2 mntv\x.
В § 59 было показано, что входящая сюда сумма равна давлению газа Р. Поэтому
dU + PdV= 0.
Подставив сюда значение U из формулы (66.12), получим
(-?-+ \)pdv+{vdp=0,
или на основании последнего из соотношений (66.11)
yPdV+ VdP = 0.
Это — дифференциальное уравнение адиабаты, полученное в § 21 чисто термодинамически. Так как по классической теории теплоемкости -у ¦— величина постоянная, то интегрированием этого уравнения получается уравнение Пуассона
Р Vу = const.
4. При бесконечно медленном движении поршня каждое отражение молекулы сопровождается бесконечно малым изменением ее скорости. Возникает вопрос, каким образом в этих условиях может получиться конечное изменение температуры газа. На этот вопрос легко ответить. Дело в том, что чем медленнее движется поршень, тем больше требуется времени, чтобы объем газа изменился на заданную величину. За это время произойдет большее число ударов молекул о поршень, чем при более быстром движении. При каждом отражении изменение энергии молекулы тем меньше, чем медленнее движется поршень. Однако произведение числа ударов на среднее изменение энергии молекулы при одном отражении от скорости движения поршня не зависит (если только процесс может считаться квазистатическим). Оно определяется только величинами начального и конечного объемов газа. Поэтому и приращение кинетической энергии теплового движения газа определяется только приращением его объема и совершенно не зависит от того, быстро или медленно двигался поршень (при условии, что процесс — квазистатический).
5. Термин«адибатический» применяется в физике в двух смыслах. В термодинамике адиабатическим называют процесс, происходящий без подвода и отвода тепла. Он может быть как равновесным, так и неравновесным. В механике под адиабатическим воздействием
§ 67] АДИАБАТИЧЕСКОЕ НАГРЕВАНИЕ И ОХЛАЖДЕНИЕ ГАЗА
223
на систему понимают такое воздействие, при котором ее внешние параметры меняются бесконечно медленно. Рассмотрим, например, математический маятник — шарнк, подвешенный на нерастяжимой нити, перекинутой через гвоздь. Внешними параметрами такой системы являются длина нити / и ускорение силы тяжести g. Потянув рукой за свободный конец нити, можно менять /. Можно также менять величину g, перемещая маятник вверх или вниз. Если эти изменения производятся достаточно медленно, то воздействия на маятник будут адиабатическими. Функции динамических переменных системы, остающиеся постоянными при адиабатических воздействиях на нее, называются адиабатическими инвариантами. В этом смысле величина PVv является адиабатическим инвариантом теплоизолированной системы, состоящей из идеального газа. Если газ в цилиндре теплоизолирован, но поршень движется быстро, то величина PVy в ходе процесса, вообще говоря, не будет оставаться постоянной. Более того, поскольку при быстрых движениях поршня процесс будет неравновесным, газу в целом нельзя приписать какое-либо определенное давление Р. Если остановить поршень и подождать, чтобы газ пришел в состояние равновесия, то даже в этом случае величина PV'v, вообще говоря, изменится. Допустим, например, что поршень выдвигается со скоростью, в несколько раз превышающей среднюю скорость теплового движения молекул. Тогда подавляющая доля молекул не сможет «догнать» поршень и отразиться от него. Процесс будет происходить так же, как расширение газа в пустоту. При этом сохранится постоянной внутренняя энергия газа, а с ней и произведение PV. Величина же Р1А изменится.
