Общий курс физики термодинамика и молекулярная физика - Сивухин Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Так как объемы базисных параллелепипедов V в обоих базнсах одни и те же,
* 1
то новые базисные векторы обратной решетки будут aJ = у [а'«'] =а*,
* 1 1 ц„ а'л = у [«] = у 1«з«і]+ у [вз«?1 =я| — n2of,
а’*= у 1«\ = = у I«i«a] = а*.
В обратной решетке можно перейти к новому базису
Щ = а\, t>^ = a'l + n2af = af, bf = a%.
§ 131]
КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
519
Но этот базис совпадает с базисом (130.6). Поэтому будут совпадать и соответствующие им обратные решетки. В общем случае переход к новому базису может быть выполнен путем частных преобразований типа (130.8). Поэтому заключение остается в силе и этом случае.
§ 131. Кристаллические системы
1. Помимо трансляционной симметрии кристаллическая решетка может обладать и другими элементами симметрии. Так, всякая примитивная пространственная решетка имеет центр симметрии. Центром симметрии, как легко видеть, является каждая вершина и центр примитивного параллелепипеда решетки, а также середины его ребер и центры граней. Базис однозначно определяет примитивную решетку. Обратное несправедливо — для одной и той же решетки базис может быть выбран -бесконечным множеством способов. Поэтому симметрия базисного параллелепипеда, вообще говоря, не совпадает с симметрией построенной на нем решетки.
2. Тела конечных размеров,
например молекулы, могут обладать поворотными и зеркальноповоротными осями симметрии любого порядка. Неограниченные кристаллические решетки, как примитивные, так и сложные, Рис. 163.
благодаря наличию у них трансляционной симметрии, ведут себя иначе. Поворотные и зеркально-поворотные оси симметрии кристаллической решетки могут быть только осями 2-го, 3-го, 4-го и 6-го порядков. Другие оси в кристаллической решетке невозможны. Для доказательства возьмем какие-либо два идентичные соседние узла Л и Б на узловой линии АВ, т. е. прямой, содержащей бесконечное множество атомов решетки (рис. 163). Если через узел А проходит поворотная ось n-го порядка, то параллельная ей прямая, проходящая через узел В, будет также поворотной осью того же порядка. Закрепим эти оси неподвижно в пространстве и условимся называть их осями А и В. Повернем всю решетку вокруг оси В на угол ф = <р„ = 2п/п. Атом, находившийся в точке А, перейдет в А', причем вся решетка совместится сама с собой. Место атома в точке А займет другой в точности такой же атом. Произведем теперь поворот на тот же угол ф вокруг оси Л, но в противоположном направлении. Решетка опять совместится сама с собой. Атом, находившийся в точке В, перейдет в положение Ватомы в точках В и Л' заменятся другими совершенно такими же атомами. Если точки А' и В' совпадают между собой, то ф = = 60°, и оси Л и Б будут поворотными осями шестого порядка. Если же точки Л' и В' не совпадают между собой, то прямая В'А'
520
СИММЕТРИЯ и СТРОЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ
[ГЛ. XII
будет узловой прямой решетки, так как она параллельна прямой АВ. По условию Л и В — соседние идентичные узлы на прямой АВ, а потому длина АВ является основным периодом для обеих узловых линий АВ и В'А'. Значит, длина В’А’ должна быть кратна длине АВ. Но В'А' = АВ (1 — 2 cos ф). Поэтому число 1 — 2 cos ф должно быть целым (случай, когда оно обращается в нуль, т. е. когда cos ф = 1/2, рассмотрен выше). Это возможно тогда и только тогда, когда cos Ф = 0, — 1/2, — 1. Таким значениям соответствуют углы поворота ф = 90°, 120°, 180°, т. е. поворотные оси 4-го, 3-го и 2-го порядков. Сочетая соответствующий поворот с отражением в плоскости, легко распространить приведенное доказательство и на зеркально-поворотные оси симметрии.
3. Сложная пространственная решетка состоит из примитивных решеток (решеток Браве). По симметрии примитивных решеток все кристаллы разделяются на семь кристаллических систем. Под симметрией здесь понимается точечная симметрия, включающая в себя все элементы симметрии, за исключением трансляционных, т. е. центр, плоскости и поворотные оси симметрии различных порядков. В сущности, разделение кристаллов на кристаллические системы производится по числу поворотных осей симметрии различных порядков, которыми обладает решетка Браве.
Напомним, что симметрия пространственной решетки не всегда совпадает с симметрией основного параллелепипеда, на котором построена решетка. Однако Браве заметил, что из всякой примитивной решетки, за исключением гексагональной, можно выделить параллелепипед, содержащий все те элементы симметрии (за исключением, конечно, трансляционных), что и решетка в целом.Наименьший из таких параллелепипедов называется параллелепипедом Браве. Если он вырождается в куб, то мы будем называть его кубом Браве. Браве доказал, что могут существовать шесть типов примитивных решеток, для которых параллелепипед Браве — примитивный. Если к ним присоединить гексагональную решетку, то получится всего 7 типов решеток, охватывающих всевозможные комбинации элементов симметрии решеток Браве. Центрирование граней и объемов параллелепипедов Браве не изменяет симметрию решетки. Однако оно приводит к появлению еще 7 новых типов решеток Браве. Таким образом, существует всего 14 типов решеток Браве, распределяющихся по 7 кристаллическим системам. Опишем эти системы и соответствующие им решетки Браве.
