Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
производной можно менять местами соседние индексы при условии, если один
из них штрихованный, а другой нет. Отсюда вытекает справедливость
сформулированного выше правила перестановки.
Заметим, что, вообще говоря, конечно, нельзя переставлять два индекса,
если оба они штрихованы или нештрихованы (см. правила коммутации, гл. I,
§ 5).
Все установленные выше формулы справедливы, в частности, для мировой
функции. В силу (1.41) имеем
= -(иг - u0)Ui>, Q" = ("! -"0)t/i, (2.17)
(где U1 - касательный вектор dx'/du) и если Г неизотропна, то, согласно
(1.42),
= - LA,i', Qi = Llit (2.18)
где Я,* - единичный вектор, касательный к Г.
Напомним, что в (2.17) и - любой канонический параметр, а в (2.18) мы
выбрали du = ds. Эти формулы проиллюстрированы на фиг. 16.
В силу (2.17) имеем
^ад = (Ц1-и0)^ад,
и, таким образом, согласно (2.2),
= 2Q.
Аналогичным образом,
gl'>'Qi'Qr = 2Q.
Соотношения (2.20) и (2.21) представляют собой два дифференциальных
уравнения в частных производных, которым удовлетворяет мировая функция.
Выпишем для справки следующие очевидные результаты:
= - Qji , (2.22)
?2iT... = ?V. (2.23)
где, как обычно, точки в одинаковых положениях справа и слева означают
одинаковые индексы (штрихованные или нештрихованные). Такого рода
коммутация имеет место только в том случае, когда два индекса стоят
непосредственно после символа ?2.
§ 2. Пределы совпадения
Этот параграф посвящен обсуждению пределов ковариантных производных
мировой функции, когда точки Р' и Р стремятся совпасть. Мы
Фиг. 16. Иллюстрация-первых производных мировой функции Q.
(2.19)
(2.20) (2.21)
54
Гл. II. Мировая функция Q
будем пользоваться одной системой координат, так чтобы хг -> х1' при Р-
+Р', и примем для этих пределов, которые мы назовем пределами совпадения,
следующие обозначения:
limQ.. =[Q ]. (2.24)
р-+р'
Пределы совпадения оказываются полезными, только если они не зависят от
пути, по которому Р стремится к Я'. В какой степени они действительно не
зависят от пути, определяется гладкостью функции gц. Полное обсуждение
этого сложного вопроса выходит за рамки данной книги. Однако мы дадим
формальную аргументацию, предполагая аналитичность и допустимость
оперирования с бесконечными рядами.
Уравнение геодезической
^-т+г^к = 0' <2-25>
приводит к степенным рядам
х* = х*' + иги*' - 4 <ГУ'к.и*'ик' + .. ., (2.26)
где ы = 0 в Р' и и = иг в Р. Обращение разложения (2.26) дает
И1^'=Г + 4П:^к+---> V=xi-x>'. (2.27)
Следовательно, в силу (2.2)
2Q {х', х) = u\gvi.UvUil = gi-yVV + Ai-j-vlW + • • •, (2-28)
причем коэффициенты в этих разложениях являются функциями gyy и их
производных. Таким образом, Q(x',x) оказывается аналитической функцией
своих восьми аргументов, и, следовательно, пределы совпадения не зависят
от пути. Как бы ни было такое доказательство грубым с точки зрения
математики, оно показывает, что мы выбрали правильный путь, взяв в
качестве мировой функции Q(jc', х) вместо, скажем, геодезической меры
Р'Р. В последнем случае мы столкнулись бы с теми неопределенностями и
бесконечностями (расходимостями), к которым приводит в евклидовом
пространстве дифференцирование расстояния между двумя точками по их
координатам и последующий переход к пределам совпадения.
Для большей определенности оговоримся сразу, что последующие вычисления
зависят от допущений: а) мировая функция 0,{х',х) дифференцируема сколь
угодно большое число раз и б) пределы совпадения
существуют и не зависят от пути, по которому Р стремится к Я'.
Пределы совпадения, разумеется, будут функциями одной точки, и совершенно
безразлично, как назвать эту точку: Р или Я'. С точки зрения удобства
обозначений проще использовать Я. Таким образом,
когда предел совпадения вычислен в виде тензора, индексы этого тензора
будем писать без штрихов. Однако важно сохранять штрихи внутри скобок [
] до тех пор, пока не появятся достаточные основания для их
вычеркивания.
Из (2.1) и (2.17) с очевидностью следует, что
[Q] = 0, [Qi.] = 0, [QJ = 0, (2.29)
и, следовательно,
[?Т']=0, [СТ] = 0. (2.30)
§ 2. Пределы совпадения
55
Дифференцирование выражения (2.20), которое можно записать в
виде
2П = П*?2\ (2.31)
дает
С2; = С2Д,. (2.32)
Допустим, что и = 0 в Р' и и - их в Р. Умножая (2.32) на их и используя
(2.17), получаем
= (2.33)
Поскольку предел совпадения не должен зависеть от пути, т. е. от предела
U1, мы получаем
[?^-] = aJ, [Q"] = &j. (2-34)
Чтобы рассмотреть ковариантные производные более высокого порядка, будем
последовательно дифференцировать (2.32), получая при
этом
(2.35)
Qjkm - + Him Q.jk + QjQ.yftm, (2.36)
Qjhmp = + (r)ikmQ ¦ IP + ^ihp^- jm + . jmp +
• jfe +
-(- ?2jmQ.yftp -f- jhm "Ь jhmpt (2.37)
и т. д. Перейдем теперь к пределу Р->Р', используя уже вычисленные
пределы совпадения. Из (2.35) мы ничего, кроме тождества, не получим. С
помощью же (2.36) находим
(2.38)
Но в силу (2.23) имеет место симметрия по двум первым индексам. Эта
симметрия с учетом кососимметричности в (2.38) сразу приводит к ра-
