Общая теория относительности - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
представляет собой инвариант. Справа также стоит инвариант, что легко
проверить, приняв во внимание свойство кососимметричности элемента
объема.
*) Более детальное рассмотрение можно найти в книге Синга и Шилда [1190],
стр. 274.
?) См. § 5 для М = 4; обобщение на случай произвольного М очевидно.
46 Гл I. Тензорные Формулы для риманова пространства - времени
Следует, однако, отметить, что формула (1.239) справедлива только в
случае, когда ориентация ячеек определена соответствующим образом; в
противном случае появится знак минус. Чтобы вникнуть в этот вопрос более
глубоко, нужно уяснить себе, что VM-1 и VM -ориентируемые поверхности.
Это означает (дадим объяснение для Vm), что если мы обнесем М-ячейку
вдоль произвольного замкнутого контура в Vm, предположив предварительно,
что Аф 0, то, вернувшись в исходное положение, получим новый набор
упорядоченных ребер ячейки, которые можно непрерывным способом перевести
в старый набор при Аф 0. [Равенство Д = 0 означает, что М-ячейка
вырождается в ( М- 1)-мерную.] Обращаясь в качестве примера к случаю
поверхностей (М = 2) в обычном евклидовом пространстве, можно видеть, что
поверхность сферы так же, как и поверхность
тора, ориентируема, тогда как лист Мёбиуса неориентируем. Считая теперь
Vм-Iй Vm ориентируемыми пространствами, для того чтобы (1.239)
выполнялось (но не при изменении знака какого-либо из интегралов на
отрицательный), нам необходимо
уметь строить взаимооднозначное соответствие между набором упорядоченных
ребер (М-1)-ячейки в VM-i-пространстве и набором упорядоченных ребер
М-ячейки
'Ч' п 1 . 1 о, диоаоллл r\ п ir т . J i
мерной ячейке направление по- в УАгПрОСТрЗНСТВе ПЛЮС (В качестве
следнего ребра, получаем Л?-мер- леднего ребра) элемент, выходящий
из
ную ячейку. Ум-пространства через Vm-i-пространство.
Последнее замечание проиллюстрировано
на фиг. 13. Это правило ориентации содержится в элементарной формуле
(1.232), хотя в несколько не отчетливой форме, поскольку один из
интегралов здесь взят вдоль кривой.
Вернемся к общей формуле Стокса (1.239) и положим N - 4, так что Vm = У4
окажется пространством - временем, метрика которого, однако,
еще не определена. Беря последовательно М = 2, 3 и 4, получим три
сле-
дующие формы теоремы Стокса:
(1.240)
Vi v2
§Tl}dxt}= 5)Tu,kdriih, (1-241)
V2 v3
§Tijhdx^=\Tm,mdxi:lim, (1.242)
v3 v4
где в последнем интеграле У4 представляет собой область пространства -
времени, ограниченную У3.
В написанных выше формулах не содержится никаких предположений о наличии
у Ту и Tik каких-либо специальных свойств симметрии. Однако в силу
кососимметричности тензорных объемов в формулах остаются фактически лишь
кососимметричные части Т-тензоров.
Введем, наконец, тензор gу пространства - времени. Теперь частные
производные можно заменить ковариантными производными, так как добавочные
члены при этом выпадают. Например,
Ту I " dxW = (Ty.fc - г?, Taj - Т% Tia) dx*k = Ту, k dx(1.243)
§ 10. Теоремы Стокса и Грина
47
Таким образом, формулам Стокса можно придать полностью инвариантную
форму:
§Tidxi=\TiUdxv, (1.244)
Vi v2
Ф Гу dx'i = \ Tij]hdx^h, (1.245)
v2 v3
§ Ti]hdx^h= J Ti]hlmdx^m. (1.246)
V3 V4
Перепишем теперь эти формулы в несколько ином виде, введя инвариантный
элемент объема (двумерный, трех- или четырехмерный), определенный как
произведение мер (ds) ребер прямоугольной ячейки.
Рассмотрим У2. Пусть Мг и N1 - единичные векторы, ортогональные к V2 и
друг к другу (фиг. 14). Тогда тензорный объем 2-ячейки можно записать в
виде
dxij = е (Л4) е (N) т]^hm MhNmd3v, (1.247)
где е-символы представляют собой индикаторы векторов М и N
соответственно, т)-дискриминантный тензор, определенный формулами
(1.114), a dtv - инвариантный двумерный объем ячейки. Наша 2-ячейка
оказывается такой, что ее упорядоченные ребра совместно с М1 и N1
образуют 4-репер, ориентация которого совпадает с ориентацией
параметрических линий координат х1. Нам нужно доказать формулу (1.247).
Проведем доказательство, учитывая, что она имеет тензорный характер и,
таким образом, должна быть справедлива в любой конкретно выбранной
системе координат. Достаточно рассмотреть прямоугольную ячейку, так как
любую косоугольную ячейку можно разбить на большое число прямоугольных.
Будем теперь использовать координаты, для которых в рассматриваемой точке
gj имеет вид диагональной матрицы (1, 1, 1, -1)'и для которых
параметрические линии х1 и х2 идут вдоль ребер ячейки, а параметрические
линии х3 и х4 лежат соответственно вдоль М1 и N1. Положим у1 = х1 и у2, -
х2. Тогда в силу (1.234) имеем Д = dx1dx2, а вследствие (1.235)
dx12 = - dx2,1 = dx1 dx2. (1.248)
Другие компоненты dxli равны нулю. С другой стороны, мы имеем М3= г(М),
Nt = e(/V), а другие ковариантные компоненты равны нулю. Таким образом,
правая часть (1.247) отлична от нуля лишь при i = 1, / = 2 или при i =
2,/= 1, причем для первого из этих случаев она равна d2v. Но d2v=dx1dx2,
откуда, сравнивая это выражение с формулой (1.248), мы убеждаемся в
