Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
dQ dQ dQ dQ
(.6.2)
dy i dyN + i dxi dxN + i
или эквивалентную им систему, вводя параметр w,
dxr = dQ dy'L = _ dQ
dw дут dw дхт
Эти уравнения определяют единственное решение
хт = хт (w), ут = yr (w), (76.4)
зли заданы значения хт и ут при w = 0.
1) Случай М = 0 изучается в § 71 и его можно не рассматривать здесь.
Ясно также, что пространство QT N + 1-мерное и латинские индексы
изменяются от 1 до (N + 1); ср. § 62.
§ 701 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВОЛН ПО НАЧАЛЬНЫМ ДАННЫМ 240
Пусть В* с координатами х*- произвольная точка на 2м (рис. 37) и пусть у*
выбраны так, что они удовлетворяют уравнению
Q (х% у*) = 0, (76.5)
а также
у; Ьх'г = 6?/0 (76.6)
для каждого бесконечно малого перемещения на 2М. Невозможно рассмотреть
все относящиеся сюда случаи. Условия (76.5) и (76.6) могут оказаться
несовместимыми; в этом случае не существует решения уравнения (76.1),
удовлетворяющего начальным условиям. И даже если эти условия совместимы,
могут возникнуть некоторые случаи вырождения. В следующем, общем
рассуждении мы предполагаем, что уравнения (76.5) и (76.6) содержат М -f-
1 условие и поэтому величины у* имеют N - М степеней свободы. Пусть х* и
у* будут начальными значениями для системы
(76.3). Из первых уравнений (76.3) следует, что эти значения определяют
направление в пространстве QT. Существует осл_м таких направлений в
каждой точке 2М и существуют сом точек в 2М. Это означает, что мы
получаем конгруэнцию кривых (лучей или траекторий), заполняющих
пространство QT.
Пусть В - произвольная точка пространства QT с координатами хг. Через
точку В проходит кривая Г, принадлежащая описанной выше конгруэнции;
пусть Г пересекает 2М в точке В* с координатами х*. Определим
Рис. 37. Волны в QT, полученные из начальных данных с помощью метода
характеристических кривых-
250 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT) [ГЛ. ТТ
затем U(x) следующим образом:
в
U (х) = U (х*). + ^ Уг dxr, (76.7)
в*
где слагаемое U(х*) имеет заданное значение U0 и интеграл берется по
кривой Г. Варьируя В и, следовательно, В*, мы получаем
б U (х) = bU (х*) + угдх,. - у г Ьх'г +
+ ^ (буг dxr - Ьхг dyT). (76.8)
Теперь уравнения (76.3) заключают в себе уравнение dQ/dw = 0 и поэтому,
принимая во внимание (76.5), найдем
Й(т:, у) = 0. (76.9)
Отсюда 6Й = 0 и интеграл в выражении (76.8) обращается в нуль. Так как,
кроме того, имеет место условие (76.6), то уравнение (76.8) сводится к
следующему:
6(7 (а:) = ут Ьхт. (76.10)
Поэтому справедливы уравнения
3U ...
г/г = - . (/6.11)
дхт
Итак, согласно (76.9), U удовлетворяет уравнению в частных производных
(76.1), а согласно (76.7) U удовлетворяет начальным условиям. Таким
образом, искомое решение найдено.
Чтобы вернуться к результатам, полученным в § 72, нет необходимости
находить формулы для U(х) или находить схему, которая определяет эту
величину и указывает условия, при которых она может не существовать.
§ 77. Полный интеграл Якоби уравнения Гамильтона - Якоби. Предположим,
что мы отыскиваем все лучи или траектории и соотнесенные им векторы
импульса - энергии для динамической системы с уравнением энергии
й(т, у) = 0 (77.1)
§ 771 ПОЛНЫЙ ИНТЕГРАЛ УРАВ11. ГАМИЛЬТОНА - ЯКОГ.П 2Г)1
или, что то же самое, с гамильтоновой функцией
Метод Якоби состоит в том, чтобы, не пытаясь прямо интегрировать
обыкновенные дифференциальные уравнения движения, разрешить уравнение
Гамильтона - Якоби, которое в соответствии с (77.2) имеет вид
Якоби свел задачу о движении к другой задаче: найти полный интеграл
уравнения (77.3) в форме
U = /(<7ь. . ., qN, t, ai, . . ., aN) + Ojv+i- (77.4)
Здесь a* - произвольные постоянные; полный интеграл должен содержать N +
1 постоянных величин ait но одна может быть аддитивной, так как в
уравнение (77.3) входят только производные функции U.
Теорема Якоби утверждает, что если Ър - некоторые постоянные, то
уравнения
определяют совокупность всех лучей или траекторий, а уравнения
определяют соотнесенные им импульсы или (что то же самое), что вследствие
(77.5) и (77.6) выполняются, уравнения
Н = H(q, t, р).
(77.2)
(77.3)
dJ
(77.5)
дар
(77.6)
дН
252 ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT) [ГЛ. II
п что (77.5) и (77.6) содержат все решения уравнении (77.7) и (77.8).
Для того чтобы доказать это, заметим, во-первых, что N уравнений системы
(77.5) содержат qp и t и, следовательно, определяют функции qp(t) для
любых значений постоянных. Кроме того, система (77.6) дает
соответствующие импульсы рр. Производные функций q и р получаются
дифференцированием по t уравнений (77.5) и
(77.6); это дает следующие уравнения:
d2j ¦ I d2j П 177 оч
qa + ------ = 0, (77.9)
dap dqa дар dt
dJ • t dJ /77
Pp - --- Яо + --- • (77.10)
dqp dqa dap dt
Так как функция (77.4) удовлетворяет уравнению (77.3), то для
произвольных значений а имеем соотношение
%+н(,.,.д/) = 0 (77.11)
и, следовательно, имеют место уравнения
+ = 0. (77.12)
dap dt dpa dqa dap
Сравнивая эту систему с (77.9), видим, что действительно уравнения (77.7)
удовлетворяются. Дифференцируя теперь
