Классическая динамика - Синг Дж.Л.
Скачать (прямая ссылка):
представляет огибающую этих плоскостей, когда z* пробегает поверхность
SL. Для того чтобы найти эту огибающую, имеем уравнения
" дА (х, z') . . Л )
zroz; = 0, 'oz; -0, I
dzt J (71.5)
zrz;=i, Л (а:, Г)л= 1. J
Отсюда следует соотношение
дА (х, z") .
2г=ф 1 , (/1.6)
где ф - вначале неопределенны'! множитель; легко видеть, что
Ф = фА (х, z') = фz; д~.(х,.?А = Zrz; = 1, (71.7)
dz*
71 I
ТЕОРЕМА ВЗАИМНОСТИ
2315
так что уравнение (71.6) принимает следующий вид: * - . (71.S)
Поверхность, взаимно полярную с SL, можно теперь найти, исключив из этих
уравнений отношения z\ : zjjj : ... '-z*n+\-Однако сравнивая этот вывод с
уравнениями (71.7), видим, что это - тот же путь, каким мы получили
уравнение энергии Q = 0. Поверхностью, взаимно полярной с Sь, является
поэтому поверхность SH.
Точно так же нахождение поверхности, взаимно полярной с Sg, даст SL.
Имеем теорему взаимности: поверхность гамильтониана есть взаимнополярная
поверхность лагранжиана, и обратно. Рис. 33 иллюстрирует это соотношение.
Уравнения
У г
дА (х, х )
1 ^ Вх'~
Sc
(/1.9) Рис. 33. Соотношение взаимности между поверхностью лагранжиана Sl
и поверхностью гамильтониана Sjj.
сопоставляют любой кривой хГ = хг (и) естественный
вектор импульса - энергии у,.. Обратно, пусть задан уг - вектор импульса
- энергии, удовлетворяющий уравнению энергии. Он определяет направление
кривой,' для которой этот вектор импульса - энергии является
естественным. При нахождении поверхности, взаимно полярной к поверхности
Q(a;, у) - 0 (где уг рассматриваются как текущие координаты) в форме А(х,
х') - 1 (где текущими координатами являются хг), нам приходится иметь
дело с уравнениями
234
ПРОСТРАНСТВО СОБЫТИЙ (QT)
[ГЛ. II
где д - неопределенный множитель. Эти уравнения подобно уравнениям (71.9)
устанавливают соотношение между вектором уг и направлением кривой, т. е.
между уг и отношениями величин хг. Из обратимости операций определения
взаимно полярных поверхностей следует, что уравнения (71.9) и (71.10)
представляют собой различные способы выражения единственного соотношения
между направлением в пространстве QT и соответствующим естественным
вектором импульса - энергии уг. В (L, #)-обозначениях эти уравнения дают
следующую систему:
9Ь ¦ дН рр , 9р = . (/1.11)
dqp. др р
Эти последние уравнения являются двумя эквивалентными способами выражения
единственного соотношения
между скоростью qр и естественным импульсом рр.
Для того чтобы иллюстрировать проведенное геометрическое изложение,
рассмотрим системы PC и ОДС (§ 66 и 70). Примем для простоты в PC brs =
6rs. Тогда, согласно уравнению (70.1), SL- поверхность второго порядка, а
?#, согласно уравнению (70.3),- сфера с центром в точке Аг. Что касается
ОДС, то согласно представлению (68.4), SL - поверхность второго порядка,
проходящая через начало координат и имеющая уравнение
I
~2 арв2р2a V%n + i = Zrf + b (/1.12)
a Sn, согласно (70.12),- поверхность второго порядка с уравнением
' apaz-pza + F = 0. (71.13)
4лг +1
2
(Действительно, это - эллипсоид вследствие положительной определенности
кинетической энергии.) Если в ОДС рассматривается одна частица,
движущаяся в пространстве, то SL является поверхностью вращения, а Sh -
сферой.
§ 721 ГАМИЛЬТОНОВА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 235
§ 72. Гамильтонова двухточечная характеристическая или главная функция
1). Уравнение Гамильтона - Якоби.
Рассмотрим N + 1-мерное пространство QT и в нем лагранжеву или
гамильтонову динамику. Вследствие соответствия, установленного в § 69,
безразлично, какую из этих двух динамик рассматривать и использовать при
этом однородный лагранжиан А(х, х) или обычный
лагранжиан L{q, t, q) (§ 64 и 65), уравнение энергии Q(x, у) = 0 или
гамильтониан H(q, t, р) (§ 67 и 68).
Пусть Г - луч (или траектория), соединяющий точки В* и В. Определим
двухточечную2) характеристическую, или главную, функцию как лагранжево
или гамильтоново действие (они равны) от точки В* до В вдоль этого луча.
Обозначим ее через S(B*, В). Это - функция двух точек в пространстве QT.
Она может не существовать для некоторого выбора двух точек, так же как
может не существовать луч, соединяющий эти точки. Она может быть
однозначной (две точки соединяют один луч) или многозначной (две точки
соединяют несколько лучей). Но мы не будем сейчас касаться этих
тонкостей. В случае многозначности будем выделять одно значение функции.
Характеристическая функция зависит от 2N + 2 аргументов, именно,
координат точек В* и В, скажем, х*
•) В динамике Гамильтона имелось различие между характеристической
функцией и главной функцией; его отмечали многие авторы (ср. Голдстейн
[7], стр. 283), которые должны были бы считать функцию, рассматриваемую
нами, главной функцией, а не характеристической; последняя является
несколько менее общей. Однако в этой книге мы следуем оптическому методу,
в котором характеристическая функция имеет требуемую общность и любая
попытка употреблять два названия, характеристическая и главная, вызывала
